On aura de même

r(/i) = (,i-i)r(/i~i), r{«-i)z=:(/ï~2)r(/i-2), et si n est entier, on arrivera à

r(2) = ir(i),

e-'dx = l,

Par conséquent, on aura pour n entier et positif

Si n, sans être entier, est plus grand que i, la formule

permettra de réduire l'intégrale F («) à l'intégrale F (v), dans laquelle v désigne un nombre positif moindre que i; de sorte que, pour calculer F (tz), il sufflt d'avoir les valeurs de cette fonction pour les valeurs de l'indice n comprises entre o et i .

463, L'intégrale F (n) peut prendre une autre forme 5

l4 COURS D*AlfALTSE.

en posant e~* = j, on a

donc

INTÉGRALES QUI SE DÉDUISENT d'uJNE INTÉGRALE CONNUE, PAR LA DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE.

464. La différentiatîon sous le signe permet de déduire d'une intégrale définie connue de nouvelles intégrales. En voici quelques exemples :

Différentions n fois par rapport à a : il en résulte

3 5 2/7 I I Tf

et, par suite,

r"* ^-^ __ 1-3.5... (2ff— !) TT

dx-=. —•

Si Ton dîfférentie les deux membres de cette égalité n — i fois de suite par rapport à a, on aura

1 c~~"'ar^~*cte = l.2.3. . .(« — i)fl-\

TRENTE-HCITIÈMB LEÇON. l5

oa bien

(2) f e-^a^-^da:=z^^.

465. Ce dernier résultat subsiste quand on remplace la quantité réelle a par l'expression imaginaire ûf-f- A ^ — i , dans laquelle la partie réelle a est positive.

En effet, on a

— ^-^' (cos bx — ^ — I sin bx)

cf 5 par conséquent,

g^(a+6vPT)*^j, -

a-^b sj— I

Si maintenant on différentîe cette égalité n — i fois par rapport à a, on aura

(3) r.-(-W-)'.:-«rfa:=: Is^^^A^^ '),

^ ^ Jo [a-^b^-if

ce qui est la dernière formule du n^ 464 étendue au cas plus général où a représente une expression imaginaire a-f- b sj — !•

466. Cette formule fournira d'autres intégrales, au moyen de la séparation des quantités réelles et des imaginaires. Posons

a-^b sJ— I = p {ces + y^— i sîn 0), c'est-à-dire

pz=z^a^-h b^, COS0 = --==> sm0 =

)/a^ 4- b'' \la^ -+- 6>

l'équation (3) devient

I e-^* 'ces bx — ^ — I sin bx) a^" ' da:

rf/î) / ^ / — . ^x

= — -^ (^co$/i9 — Y — isin/ïOj,

^m^'^^^ry'^f'^^^

16 COURS d'àwalyse.

équation qui se partage en deux autres :

^-ax^n— 1 gjn Ifj, dj. - — : — .' sin /i 0,

Notre démonstration suppose que n est un nombre entier 5 mais ces formules subsistent quel que soit n,

IKTÉGUALES DÉDUITES d'àUTRES INIÉGRALES, AU MOYEN DE

l'intégration sous ie signe.

467. L'inlëgralion des intégrales définies, par rapport aux constantes qu'elles renferment, fournit encore de nouvelles intégrales. Soit, par exemple, Tintégrale

f , ^ e-"' cos oxdjc z=

qui se déduit de la dernière formule (466) en faisant 72 = i . Il en résulte, c étant une constante moindre que a,

r^, f^ , , f^ aeia I da I e—°*cosbjcdxz=: 1 r-.

Je Jo Je «'+^'

Mais (455),

' da I 6'-°' cosbxda: = j dx j e"^' ces bxda c V o *^o «^c

» ^-cx

cosbxdxy

d'un autre côté,

Donc

ada i a^

a'-hb^ 2 c'-hb^

?-« , , 1 ,a^-h b^ cosbxdx = - \ r-«

TBEJVTE- HUITIEME LEÇON. ' Ij