SURFACES CYLINDRIQUES

660. On appelle surface cylindrique toute surface ODgendrée par une droite indéfinie MN qui se meut parallèlement à une droite donnée OD, en s'appuyant constamment sur une courbe donnée AB, nommée directrice.

Soient

les équations de la génératrice MN : a et & sont des coefficients constants qui expriment que MN est toujours parallèle à OD ; a et 6 désignent des paramètres variables avec la position de la génératrice. Soient

Fig. 117.

les équations de la directrice AB.

On exprimera que cette courbe et la génératrice se rencontrent, en éliminant x, j^ et z entre les équations (i) et (2). Si

(3) y(a, 6)=rO

est le résultat de cette élimination, il faudra, pour avoir Téquation de la surface cylindrique, éliminer a et 6 enire les équations (i) et (3), ce qui donne

OU

(4) / — bz=z^ [x — az)y

^ désignant une fonction quelconque. C'est Téquadon la plus générale, en quantités finies , des surfaces cylindriques.

661. Réciproquement, toute surface dont l'équation a la forme (4) est cylindrique, car cette surface contient les droites parallèles qui ont pour équations

X — az = a ,

y — bz=:^y

es constantes a et 6 satisfaisant à Féquation 6 = 4> (a).

662. Pour avoir l'équation aux différentielles partielles des surfaces cylindriques, on différentiera Téquatiôn (4), tour à tour, par rapport à x et à j^ : en posant

dz dz

on â

— hp:=.^* [x — az") (i — û/? ) , I — hq=z — ^'[x — az) yc^ aq^ d'où résulte, en éliminant 4>'(a: — az) ,

(5) ap^bq = l,

équation générale, aux différentielles partielles, des surfaces cylindriques.

663. Cette équalion exprime que le plan tangent à la surface est toujours parallèle aux génératrices.

En eifet, le plan tangent mené par un point quelconque (x, /, z) de la surface a pour équation

et la condition pour que ce plan soit parallèle à la droite

X = ûZ, Y=*Z, est, comme Ton sait,

ap -{- bq =zi.

Storm.— ^/z.. II. l3

664. Pour intégrer l'équation, aux différentielles partielles, des surfaces cylindriques, |

ap -h ifg = ij !

il faut d'abord (652) intégrer le système rI.T dy

ce qui donne

X — û3=:c, y — èzzzzc'j

par conséquent, l'équation ç (j: — ^z^ y — Jz) = o, ou

y — bz-=^^[x — az) , est Tinlégrale cherchée.

665. La fonction arbitraire 4>, qui entre dans l'intégrale générale, peut être déterminée par diverses conditions.

Si, par exemple, on veut que la surface cylindrique passe par une courbe donnée %

(j) Y[x,y,z) = o, Y,[xyy,z)z=iOj

on posera

(2) X — az = QL, y — èz = 6.

Les équations (i) et (2) doivent être satisfaites par les *

mêmes valeurs de x^j^ r, pour que tous les points de la 1

courbe soient sur la surface. En éliminant x^ y. z entre I

ces quatre équations, on trouvera une relation telle que

y (a, 6) = o , d'où 6 = 4> (a) •, on aura donc par ce calcul i

la forme particulière de la fonction 4>. I