Soit proposé d'intégrer l'équation
(i) P/>4-Q7 + Rr= V,
dans laquelle P, Q, R, V sont des fonctions de quatre variables x^y^ z^ zi, et /?, y, r désignent les dérivées partielles de w, Considérée comme fonction de a?,/, «, savoir:
du du du
Posons
(2) \ 6=/,(ar,7,2, «), ( 7=:/,(a:,j,2, a),
fi fi9 /* étant des fonctions inconnues de x^ y^ z^ u. Soit
Vinlégrale de Tëquation (i).
On tire de Tëquation (3)
d(x doL dx du
: dfû IdZ dt \ do fdy dy \
,,.] da da, do ( d^ d^ \ do l d-i df \
doL doL ^dff fd^ rfê \ d<f/d2 ^ \ dz du d^ \dz du ) d'^ \dz du j
Ajoutons ces trois dernières équations, après les avoir respectivement multipliées par P, Q, R. Il en résultera, en ayant égard à l'équation (i),
I dx djr dz du
^^> =à\^T.'^'^Ty-^^Tz^''dà)
Or, celte équation sera satisfaite, quels que soient ^ et
~, etj par conséquent, quelle que soit la fonction ç, si
Ton prend les fonctions inconnues a, 6, y, de telle sorte
que
soient les intégrales du système
. . dx dy ^__ dz du
IQO COURS D ANALYSE.
puisque les trois fonctions (6) rendent identique Téqua-
tîon
^dB ^dB ^dB „rfÔ ,^^^,
Donc, a, S^ y étant ainsi déterminées et cp désignant une fonction arbitraire, Féquation (3) sera l'intégrale de Téquation proposée (i).
On prouvera, d'ailleurs, qu'on a la solution la plus générale du problème proposé en faisant voir, comme au n** 652, que toute intégrale de 1 équation (i) équivaut à une relation entre les fonctions a, 6, y,
658. On remarquera, comme dans le cas de trois variables (654-), que la résolution du système (6) fournira rintégrale de chacune des équations suivantes :
dz dz dz
dx dy du '
dx dz du
^ dx ^ d.v
^dx di
du
Exemple :
du dx
du
du -^ z—-=zmu dz
Il faut d'abord intégrer le
système
on en
déduit
dz du ^ ~ z mu^
et, par
suite.
:af^^
\x' xj'
c'est-à-dire que u est une fonction homogène du degré m des variables x^y^ z. L'équation (i) exprime, en effet, une propriété connue dés fonctions homogènes (I, 178).
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EXERCICES
i . Intégrer l'équation à différentielles partielles
Solution :
2. Déterminer une surface telle, que le plan tangent mené par un point quelconque M rencontre une droite donnée île position en un point qui soit également distant du point M de la surface et d'un point fixe pris sur la droite donnée.
Solution : Prenant le point fixe pour origine et la droite donnée pour axe des z, l'équation de la surface est
ç désignant une fonction arbitraire.
3. Déterminer une surface telle, que le plan tangent mené par un pofnt quelconque M rencontre une droite donnée de position en un point dont la distance à un point fixe pris sur cette droite soit égale à la distance de ce point fixe au point ^ de la surface.
Solution : Mêmes axes :
5J + /^m^tmt^' = 7 (^y
COURS D ANALYSR.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.
Surfaces cylindriques, — coniques, — conoïdes. — Surfaces de rcTolution. — Lignes de niveau, — de plus grande pente.
