SURFACES DB RÉVOLUTION

f, 672. Les surfaces de révolution sont celles que Ton

% obtient en faisant tourner une certaine courbe autour

^ d'une droite fixe, nommée a^e de révolution.

CINQUANTE-DEUXIÈME LEÇON. tQQ

Pour plus de simplicité prenons l'origine sur l'axe OD. Soit AMB la courbe génératrice. Dans le mouvement de

Fig. 120.

cette ligne chacun de ses points décrit une circonférence, et Ton peut considérer la surface de révolution comme le lieu des circonférences de cercle qui ont leurs centres sur l'axe, leurs plans perpendiculaires à cet

axe, et qui

rencontrent la courbe AB.

Soient

les équations de la droite OD, et

^a ^y2 -^z^ ^oif ax -^ by -^ cz z=i ^

les équations du cercle mobile, considéré comme l'intersection d'une sphère, ayant son centre au point 0,et d'un plan perpendiculaire à l'axe OD.

Soient

les équations de la courbe AB. En exprimant que le cercle et la courbe se rencontrent, on parviendra à une certaine relation

et si l'on élimine ensuite a et 6 entre les équations (a) et (4), on aura

f (j?^ •+■ j' -I- zS ax->r by -\- cz) = o ou

(5) ax H- Zrr -t- C3 = * (^^ -f- j* -H 2'),

équation générale, en quantités finies, des surfaces de révolution.

673. Pour obtenir TéqualioD aux diflerentîelles partielles, on différentiera Téquation (5), ce qui donnera

fl -+- f/> = 24>'( j:' -+-^* ■+■ z') far -h z/?), b-^cq = 2^'{x^ -f 7» -*- z») (X -h «^),

d^où, en éliminant la fonction 4>',

a -h cp X -\- zp

b-^cq jr '\-zq

et, par suite,

(6) {cX'—hz)p H- (az-~cx)^ = ^j: — ûj,

équation aux différentielles partielles des surfaces de révolution.

674. Cette équation exprime que toutes les normales d'une surface de révolution rencontrent l'axe.

En effet, si Ton élimine X, Y, Z entre les équations de la normale

I X — ar-f-/?(Z — z)=:o,

et les équations de Taxe

(8) X = -Z, Tr=-Z,

on retrouve précisément l'équation (6).