Soit une surface
rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires, et
supposons le plan des xy horizontal. On appelle lignes
de niveau les sections faites dans cette surface par des
plans horizontaux. Une ligne de niveau aura donc pour
équations
z = hy f{x,x) = hy
h désignant une constante. On tire de la seconde équation dx dy dx
OU
dx q
et cette relation entre les dérivées partielles p et g aura lieu quel que soit h, lie exprime que la tangente à la ligne de niveau, en un point M de la surface, est parallèle à la trace horizontale du plan jlangent mené à la surface par ce point.
Si Téquation de la surface était F (a;, y, z) = o, on obtiendrait Téquation différentielle des lignes de niveau en éliminant h entre les équations
678. On appelle ligne de plus grande pente d'une surface, une courbe qui, en chacun de ses points, a pour tangente celle des tangentes à la surface, en ce même point, qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal. Quand la surface est plane, la ligne de plus grande pente est une droite perpendiculaire à la trace horizontale du plan. Dans le cas général, la tangente à la ligne de plus grande pente, en un point M de la surface, doit être perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent au point M. Par conséquent, la projection horizontale de cette tangente sera aussi perpendiculaire à la trace du plan tangent.
Or, le plan tangent au point M (jc,j^, z) ayant pour équation
les équations de sa trace seront
Le coefficient angulaire de cette trace est — -• Celui d^ la projection de la tangente à la courbe de plus graude
CINQUAKTE-DEVXIEME LEÇON. 20i
dx
pente est-^» On aura donc
' dx p
pdjr z=qdxy
équation difîérentielle qui représente les projections, sur le plan horizontal, de toutes les courbes de plus grande pente.
679. La tangente à la courbe de plus grande pente qui passe par le point M, étant perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent, est aussi perpendiculaire à la tangente menée à la courbe de niveau par le point M; de sorte qu'iiwe ligne de plus grande pente coupe à angle droit toutes les lignes de nii^eau, et réciproquement toute courbe qui jouit de cette propriété est une ligne de plus grande pente.
Il résulte de là que dans une surface de révolution dont Taxe est perpendiculaire au plan des jcy^ tous les méridiens sont des lignes de plus grande pente, puisqu'ils coupent à angle droit les parallèles qui sont évidemment des courbes de niveau.
