Appliquons les théories précédentes à rellipsoïde

Les lignes de niveau seront représentées par les équations

elles ont donc pour projections, sur le plan des xy^ des ellipses semblables à Tellipse principale qui est située dans ce plan.

Pour obtenir les lignes de plus grande pente, il faut in*

ao4 COURS d'awalyse.

tégrer Téquation

(l) pdx = qdx,

" "aïs ici on a

c^x c^jr

En substituant dans l'équation (i) et simplifiant, on ira

xdx ydx

uation dans laquelle les variables se séparent immédiament. On a

jr X

où

y est une constante qu'on détermine en exprimant que courbe cherclice passe par un point donné. Par exeme, si l'on veut avoir la ligne de plus grande pente qui isse par le point dont les coordonnées sont

\ aura, en substituant dans Téquation (3) ,

OÙ y == o. Donc

t l'équation de la projection horizontale de la ligne lerchce : en d'autres termes, la ligne de plus grande mte est Tellipse principale située dans le plan des zx, est évident, en effet, que cette ellipse coupe à angle *oil toutes les courbes de niveau. Il en est de même de intersection de la surface par le plan des zj.

681. Si Ton cherchait la courbe de plus grande pente issant par un sommet situé sur l'axe des 2, l'équation

ClNQDAUTE-DEUXlèME LEÇON. 205

se réduirait pour ce point à

et ne déterminerait pas y. Cela doil être, car en ce point le plan tangent à la surface est horizontal, et la courbe de niveau se réduit à un point. Toute droite passant par ce sommet, et située dans le plan tangent, peut donc être considérée comme perpendiculaire à la ligne de niveau, et, par suite, comme tangente à une ligne de plus grande pente.

206 COURS D^AHALTSE.

SUITE DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.

Surfaces déTeloppables. — Intégration de Téquation des surfaces développables. — Surfaces réglées. — Équation de la corde vibrante.

DES SURFACES DÉVELOPFABLES.

682. On noitiine surfaces développables celles qui étant supposées flexibles et inextensibles peuvent s'appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicature. Telles sont les surfaces cylindriques et les surfaces coniques.

Toute surface développable peut être considérée comme étant le lieu des tangentes à une certaine courbe, nommée arête de rebronssemenl de la surface. Il n'y a d'exception que pour le cône, où l'arête de rebroussement se réduite un point, et pour le cylindre, où cette courbe passe à l'infîni; mais comme nous avons déjà examiné ces cas particuliers, nous en ferons abstraction dans ce qui suit.