Soient

les équations de l'arête de rebroussement. Les équations de sa tangente en un point (a, 6, y) seront

- lr-<p(7) = ?'{7)(*--7)..

En éliminant 7 entre ces équations, on aura l'équation de la surface développable. Mais au lieu d'opérer cette élimination qui ne peut se faire qu'en particularisant la forme des fonctions/ et 9, nous allons chercher une équation aux dérivées partielles, indépendante de ces fonctions et qui exprimera une propriété commune à toutes les surfaces développables.

684, Les équations (2) délerrainent z ei y quand x et j sont connus. On peut donc considérer -r et 7 comme des fonctions de x et de j. En différentiant, tour à tour, ces équations par rapport à a? et à j-, on aura

dx

ou bien , en simplifiant,

'=/'/'(7)-+-/''(7)(*-7)^' o = 7/'(7)+/"(7)(^-7)J' o = /'?'(7)-+-?"{7)(«-7)^' i=<7?'(7)+?"l7)(*-7) J- En éliminant, entre ces quatre équations (s — y) -—■> (2 — y) ^ et 7, il restera une relation entre p et ^,

équation du premier ordre qui convient à toutes les surfaces développables, mais dans laquelle il entre encore une fonction arbitraire.

685. Ce résultat s'accorde avec ce que nous avons trouvé pour les surfaces cylindriques dont l'équatiou aux différentielles partielles est

ap -i-bqz=z\.

208 CODRS D^ANALTSE.

II semble qu'il y ait exception pour les surfaces coniques dont l'équation aux différentielles partielles est

(a? — fl) /> -4- (j — ^) y = z — c; mais si l'on prend Téquation en quantités finies

'-^=''('jir7)(^-'')'

on voit que z — c étant une fonction homogène du premier degré de j^ — 6 et de x — a^p eiq seront des fonctions homogènes, et du degré o, des mômes différences (I, 177) •, on aura donc

et, en éliminant on obtiendra une relation entre p

et q. Cette relation dépendra de la fonction cp, tandis que, dans l'équation des surfaces cylindriques, la relation entre /? et ^ ne dépend que des constantes qui définissent la direction des génératrices.

686. L'élimination indiquée n® 684 peut se faire comme il suit. En ajoutant la première et la troisième équation du système (4)» respectivement multipliées par cy"(7) et —f"[y), on aura

La seconde et la quatrième équation traitées de la même manière donnent

Il ne restera donc plus qu'à élitniner y entre les deux dernières équations.

687, Soit

'■'.'Y*-T^,^„'ÎJiÇ5fM

Téquation au-x dérivées partielles, du premier ordre, résultait de T élimination précédente. Posons

dx

d^z ' dx^

dp

' dx

dy-^

~ dxdy'^

dq

dH

En différentîant l'équation (7) , successivement par rapport à a: et à ^, nous aurons

d'où y en éliminant T3'[q)^ .(8) s^~-rtz=io,

équation qui ne renferme aucune trace des fonctions particulières / et cp. C'est Féquation aux dérivées partielles, du second ordre, des surfaces développables.

INTÉGRATION DE l'ÉQUATION AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES DES SURFACES DÉVELOPPABLES.