Démontrons nu in tenant que l'équation

ne convient qu'aux surfaces développables.

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CINQUAIÎTE-TROISIÈME LEÇON. ail

Soient

(2) p = Tj[q)

Téquation du premier ordre qui résulte d'uiïe première intégration, et

l'équation obtenue en intégrant une seconde fois. Pour démontrer que la surface que cette dernière représente est développable, il faut faire voir qu'on peut la considérer comme le lieu des tangentes à une certaine courbe :

Or, a, 6, y étant les coordonnées d'un point de cette courbe, on a vu (686) qu'on obtenait une relation entre p et ç en éliminant y entre les deux équations

t'it) = p[f [i) t" il) -t' M /"[-,)],

Pour que la surface développable dont l'arête de rebroussemeniest la courbe (4) coïncide avec la surface (3), il faut que l'élimination de y conduise à l'équation (a); par conséquent, on devra obtenir une ideiltité si l'on porte dans l'équation (a) les valeurs de y^ et de ^ tirées des équations (5), et l'on aura ainsi une première relation

entre les fonctions/ et cp. On en obtiendra une seconde

en exprimant que la courbe (4) est sur la surface (3). Les équations (6) et (7) font connaître f[y) et y (7). L'arête de rebroussement est donc complètement déterminée, d'où résulte que l'équation (3) représente bien une surface développable.

Al a COURS D ANALYSE.