Différentions l'équation

tour à tour, par rapport kx e\ ky^ en regardant a et a comme des fonctions de ces deux variables : nous aurons

da dx

da doL ' djr djr

CINQUÀWTE-TROISIÈME LEÇON. 2l3

Ajoutons ces équations respectivement multipliées par —

da ,

et r-: en observant que

doL da da. da

dx djr df dx

puisque a et a sont fonctions Tun de Tautre, comme étant fonctions du même paramètre y [voir la Note à la fin de la leçon), nous aurons

,,. da I da da\

En diflTérentiant Téquation yz=zhz-\- 6, et remarquant dh

même

dh db • Il « da da ,

que — ? — sont proportionnelles a — ? — ? on aura de

da da

Si maintenant on élimine le rapport — : — entre les équations (4) et (5), mises sous la forme

da . . da

il viendra ou

(l — ap) (I — bq) — ahpq z= o,

ap -h bq = iy

équation diflérentielle du premier ordre, renfermant seulementdeux fonctions, aei &, de Tindéterminée y. En ayant égard à cette relation, les équations (4) et (5) peuvent s'écrire

da ^ da

dx dx '

,dbdb b -^ -ha -y =:o.

dy dx

2l4 COURS d'analyse.

692. Cherchons maintenant l'équatîon aux différentielles partielles du second ordre. En différentiant, tour à tour, Téquation

ap -^ bq z=\

par rapport k x eij^ et posant

f^— r ^ — ^ — j ^— / d.r ' dx dy^ ' dy ~~ '

nous aurons

, da dh

da dh

as -h bt-\-p—--hq-—=:o.

dy " dy

En ajoutant ces équations multipliées, la première par a, la seconde par è, et en ayant égard aux équations (7), nous aurons

à^r H- lahs -f- h'^t = o,

a ou, en posant ~ = c,

équation du second ordre ne renfermant plus qu'une seule fonction arbitraire c.