La formule (3) du n*> 696 peut s'écrire
dx \dx]
Prenons maintenant le point (j:, y^ z) pour origine des coordonnées, et pour plan des xj le plan tangent à la surface en ce point. L'axe des z sera la normale, et Ton
aura/7 = o,y = o. En désignant par cf Tangle que la tangente OT fait avec Taxe des x, on a
dx -=cos,,
dl
= sm<p.
D'ailleurs, puisque le plan osculateur est normal, on a cos9 = dt r, selon que le rayon de courbure est dirigé dans le sens de l'axe des z ou dans le sens opposé. On aura donc
rcos'« -+- 2Jsin«pcos«p + /sin2(j)'
mais on peut supprimer le double signe et écrire sim-
CIKQUAHTE-QUATRIÈME LEÇON. aa3
plemeni
^ rcos^if. -f 2^sin(j>cosy -+- ^sin^(p
pourvu que l'on convienne de porter la valeur absolue du rayon sur l'axe des z dans le sens des z positifs si le dënominateur est positif, et dans le sens opposé si ce dénominateur est négatif.
SECTIOIVS PRINCIPALES.
701 . Si le plan normal tourne autour de l'axe des z^ le rayon p variera en même temps que Tangle cp. Proposonsnous de trouver la plus grande et la plus petite valeur de ce rayon. Comme ces valeurs correspondent au minimum et au maximum du dénominateur dans la formule (a), il faudra égaler à o la dérivée de ce dénominateur ; on aura
(t— r) asiD<pcos7 + is [cos'if — sin'ç) = o,
ou, ce qui revient au même,
(3) Jtang'y + (/• — /) tangy — j = o.
Cette équation donne pour tangcp des valeurs réelles, dont le produit est égal à — i .
Comme d'ailleurs, en faisant varier l'angle 9 de o à tt, on obtient tous les plans normaux qui passent par le point O, il suffira de considérer les deux angles plus petits que 180^ qui correspondent aux deux racines de l'équation. L'un étant désigné par «,
Vautre sera nécessairement — h «•
Par conséquent, si Ton trace sur le plan des xy deux
droites OH et OK, faisant avec Ox les angles a et a H — »
les sections normales situées dans les plans zOH^ 2OK,
correspondront aux rayons de courbure maximum et minimum. Eu effet, la dérivée du second ordre de -est
2 (t — r) (cos'y — sin'y) — S^sin^cosip,
et celte expression prend des valeurs égales et de signes
contraires quand on y remplace cp par « et par cc-{
Remarquons qu'il s'agit ici d'un maximum et d'un minimum analytiques, en sorte que si les deux valeurs de -»
correspondantes à a et a H — étaient de signes contraires,
celle qui serait un minimum négatif pourrait être un maximum en valeur absolue.
Les droites OH et OR, faisant avec Taxe Ox des angles
don t la différence est -> sont perpendiculaires entre elles.
Donc les plans ^OH et zOK, qui déterminent sur la surface deux courbes planes à courbure maximum ou minimum, sont perpendiculaires entre eux. On donne aux seclions faites par ces plans le nom de sections principales,
