Lorsque les équations

quî servent à déterminer les ombilics d'une surface d< née, se réduisent à une seule, la surface a une infîr d^ombilics situés sur une ligne qu'on nomme la ligne courbures sphériques. Si les équations (i) sont îdenliqi: tous les points de la surface sont alors des ombilics.

Pour trouver une surface qui jouisse de cette proprii observons que les équations (i), mises sous la forme

p dp \ dq q dq \ dp

^ i -\- p^ dx q dx 1 -h q^ dy p dy

peuvent s'intégrer comme des équations ordinaires (6^ On aura par ce moyen

(3) l-^p' = Xq\ l4-î^ = X/>%

Y étant une fonction arbitraire de /, et X une fonct arbitraire de x. On lire de ces équations

Mais p el q doivent satisfaire à l'équation ~z=.-~- \

a3o COURS d'àkalyse.

a donc

I dX T dY

Le premier membre étant fonction de x seulement, et le

' second fonction dej^, cette équation ne peut subsister

qu'autant que chaque membre se réduit à une constante.

Soit — cette constante. On aura

dX. iidx dY 2dy

r et, en intégrant,

a et b étant des constantes arbitraires. En portant les valeurs de X et de Y, tirées de ces équations, dans le système (4), il vient

[a — œ)dX'^[b—jr)dx az z —

et, en intégrant de nouveau,

équation d'une sphère. Ainsi, la sphère est la seule sur-face dont tous les points soient des ombilics.

THÉORIE DE l'iIïDICATRICE.

709. La courbure des surfaces peut être présentée sous un autre point de vue, qui donne une idée plus nette de la manière dont varient les rayons de courbure des sections normales autour d'un même point.

Prenons toujours pour plan des xy le plan tangent l la surface au point O, et pour axe des z la normale en c( point.

Si Ton coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin de ce plan, la section obtenue sera une courbe infiniment petite, et du second degré, en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à ses dimensions. En d^autres termes, une courbe semblable à la section faite par un plan parallèle au plan tangent, à une distance h, tend, à mesure que h diminue, vers une section conique.

En effet, si l'on développe l'ordonnée z de la surface par la série de Maclaurin, on aura

z^=.z^'\' px '\- qy ■

- rx^ -^^ sxy -\ ty"^ ■

Mais z^^ p^ ç, qui représentent les valeurs de z, — > —

quand on fait simultanément a: = o, j == o, sont nulles d'après le choix des axes. Donc, on a

sjry-

Ity^.

OD désignant une somme de termes dont le degré, par rapport hxetky^ est supérieur au second. Si maintenant on remplace z par la constante 00' = A, on aura l'équation de la section A'M'B', et si l'on fait h trèspetite, la quantité w devient négligeable comparativement aux termes qui la précèdent. Par conséquent, on a

(i) rx'-t- ajxj H- fj*=: 2^,

équation d'une ellipse ou d'une hyperbole infiniment petite dont le centre est au point O.

•a3a couBS d'analyse.

710, En remplaçant h par z, on aura

Cette équation représente un paraboloïde passant par la section A'M'B', et ayant pour sommet le point O, Ce paraboloïde va nous servir à calculer le rayon de courbure d'une section normale quelconque OM'C.

Nommons p le rayon de courbure de la section OM'C au point O. On a [Note à la fin de la leçon)

2OO' ih ih

Pour en déduire la valeur de p, faisons, dans Féqua-

lion (2),

.r=i:0'M'cosy, j = 0'M'sin7,

y désignant l'angle j:ON. On aura

0'M'-(rcos-<j> -\- 2jsiny cosç + ^sin^^ç) = 2A, d'où

rcos'''(j) -f- 2^sin<j)COSf + /sin^y formule déjà obtenue, par une autre méthode [w^ 700).

7H. L'égalité p = — IT^^^^ ^^^^ ^^^ '^^ rayons de

courbure des diflerenles sections normales sont proportionnels à O'M". Supposons donc que sur la traceduplan

O'M' zON dans le plan des xy on prenne 0N= __ , on aurn

O'M' p = OJN*. De plus, le rapport sera constant pour

toutes les sections normales. La courbe ANB ainsi obtenue sera donc semblable à A'M'B', et aura pour centre le point O. Cette courbe, qui donne tous les rayons de courbure des sections normales faites au point O, est nommée Vindicatrice de la surface en ce point.

CI JîQUÀNTE- CINQUIÈME LEÇON, 233

712. Quand Fintersecuon de la surface par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin, est une hyperbole, il faut, en même temps, considérer une autre section produite par un second plan parallèle au plan langent, de l'autre côté de ce plan. On obtient par là une hyperbole conjuguée de la première. Dans ce cas, Tindicalrice se compose de deux hyperboles conjuguées, et Ton a p = rh 0N% suivant que l'hyperbole sur laquelle se trouve le point N correspond à une section faiie au-dessus ou au-dessous du plan xy. Le rayon de courbure de la surface devient infini et change de signe quand le plan sécant, en tournant autour de la normale, vient passer par une asymptote commune aux deux hyperboles.