La formule

rcos'<p -f- 2JSin9 coS(j> + ^sin^y

précédemment obtenue pour le rayon de courbure d'une section normale faisant avec le plan des xz un angle f, dépend des valeurs des dérivées partielles du second ordre au point considéré de la surface. Nous avons tacitement admis que r, 5 et i avaient, en ce point, des valeurs déterminées el indépendantes de l'angle cp. Mais ces fonctions

se présentent quelquefois sous l'une des formes - ou — >

quand x^j ai z deviennent nulles. Pour éviter Tindéler-

mination, on posera

^=aîtangç,

relation qui convient à tous les points de la section normale considérée; puis, après avoir porté cette valeur de y dans les expressions de r, s^ tj on fera a: == o. Soit, par exemple, l'équation

y* désignant une fonction quelconque. Elle représente une

CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON. a35

surface dont les sections normales à l'origine sont des paraboles ayant pour axe commun Taxe des s. Les dérivées partielles du premier ordre sont :

et les dérivées du second ordre :

On a bien, en général, par ces formules, p = o, ^ = o, pour a: = o^y = o. Quant aux valeurs de r, 5, «, elles se présentent sous une forme indéterminée quand on laisse

X et y indépendants entre eux; mais si l'on y remplace par tan g 9, elles deviennent

r~ 2/(tang^) — 2tang^/'(tang(ï>) -l-taDg'ç/''(tang«p),

s — /'(tang(j.) — tang<p/'(tang«p),

^=/'(tangy).

Il faut maintenant porter ces valeurs de r, 5, f , qui dépendent de 9, dans la formule

" rcos^o 4- 2Jsinycosf H- rsin^f

On doit remarquer qu'en faisan t varier l'angle y , le rayon de courbure peut avoir, selon la forme de la fonction y, un nombre quelconque de valeurs maximums ou minimums, et il y aura autant de maximums que de minimums puisque ces valeurs doivent se succéder alternativement

236 COURS d'àhàltse.

quand on fait varier f de o à arr, et que la section nor«

maie revient à sa position primitive.