TANGENTES CONJUGUÉES
716. Soit MM' une courbe quelconque située sur une surface : imaginons les plans tangents menés par les points Fig. 126. M et M'. Si le second point se rap-
proche indéfiniment du premier, rintersection des deux plans variera de position et deviendra, à lalimite,unecertaine tangente à la surface passant par le point M.
Cette droite limite et la tangente MT à la courbe MN sont dites tangentes conjuguées. Prenons pour origine le point M, pour plans des coordonnées xj^ xz^jrz, le plan tangent, et les plans des sections normales principales correspondant à ce point. On aura, au p«int M, j: = o,y = o, z = o, puis p = o, 7 = et j = o (n<>702).
L'équation du plan tangent en M^{x',y\ z') est
p' et q^ désignant les valeurs de y:? et de ^ relatives au point M'. D'après la formule de Maclaurin, on a
z* ^zpx' -\- qf H [rx"^-\- isx'f -\-ty''^) +
On aura donc, en négligeant des infiniment petits du troisième ordre,
z' — i. {rx'-" H- ty').
On trouvera de même
p' = rx', q' = t/.
Par suite, les équations des plans tangents menés aux
points M et M' seront
ry (X — x') H- ty' (Y — r') -f- - [rx'^ -f- (r") — Z — o.
Ces deux équations représentent l'intersection des deux plans tangents. Or, si Ton porte dans la seconde la valeur Z = o, on aura, en réduisant,
ra^ X -t- // Y — i {rx'^ 4- </') — " O.
Posons^' = Twjtr', m étant le coefficient angulaire de la projection de la droite MM', qui, à la limite, se confond avec la tangente MT. L'équation précédente devient
rX 4- f/w Y — - J?' (r -{- tm^) = o.
Cl quand le point M' se réunit au point M, on a a' = o, et
rX-f-r/wY = o,
équation de la tangente conjuguée définiii plus haut. On voit que si m' désigne son coefficient angulaire, on a
tm
ou
mm =r •
Telle est la relation qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux tangentes conjuguées, quand on prend pour axes la normale et les intersections du plan langent avec les plans principaux.
717. Deux tangentes conjuguées sont parallèles à deux diamètres conjugués de V indicatrice.
En effet, si
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est l'équation de l'indicatrice, on a, entre les coefficients
angulaires de deux diamètres conjugués, la relation
h' mm = •
On a d'ailleurs (702 et 7H) par conséquent,
mm zz= — — = *
ce qui démontre le théorème énoncé. Les rayons de courbure étant proportionnels aux carrés des diamètres de l'indicatrice, il résulte d'une propriété bien connue des sections coniques que la somme algébrique des rayons de courbure coprespondant à deux tangentes conjuguées est constante.
Note (p. 23 a) . — Le cercle osculateur de la courbe OM'C au point O est la limite vers laquelle tend un cercle tangent à OT au point O, et passant par M', lorsque ce dernier point vient se réunir au point O. Le rayon de ce
cercle est ^^, : on a donc 2 00'
