DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIERES

732. Supposons maintenant que u soit une fonction entière de X du degré m, et que Ui, Ut, 11$, ... , représentent les valeurs successives que prend cette fonction, quand on donne à x une suite d'accroissements égaux représentés par h. Soit

Il = A j:" -i- Bx— ■' -H Ca-»- » -+- . . . -f- Rx H- L.

On aura

Au=2A[{x -+- A)" — 0:^]+ B[(j:H-A)'»-' — a:"-'] -h C [(x -4- h)"^^ — af"-^] -f- . . . 4- KA.

En développant et ordonnant par rapport à or, on aura un résultat de la forme

Le premier terme est du (m — i)'*»«« degré, et son coefficient se forme en multipliant le coefficient du premier terme de u par Texposant de ce terme et par A.

En opérant de la même manière sur la différence première, il en résultera

on trouvera de même

A»a = /w(//î — i)(yii — 2)A/**a:"-3-i-B'^j:«-*H-. . . 4- H'%

et ainsi de suite.

Le degré de chaque différence va en diminuant d^une unité, d'où l'on conclut que la m**"** sera constante et se réduira au premier terme, dont la loi est connue. On aura donc

Ainsi, les différences m"""" (Tune fonction entière du ^ièine ^^gré sont constantes^ lorsque la variable croît par degrés égaux. Les différences suivantes sont donc nulles.