ET NOTATIONS

736. Le calcul inverse des différences a pour objet de déterminer une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'on a une relation entre cette fonction, quelques-unes de ses différences et la variable indépendante. Mais nous nous bornerons au premier cas

Soit X la variable indépendante dont Taccroissement Ax est supposé constant et égal à h ; soientF [x) la fonction Inconnue exf[x) la différence donnée : on doit avoir

AF(^)=/(x), on F{x4-/i) — F(:p)=/(x).

La fonction F [x) dont la différence est/ [x) se représente par\ f[x)'i et se nomme Y intégrale aux différences

finies àef[x). D'après ces notations, les caractéristiques \ et A appliquées à la même fonction se détruisent, et l'on a

737. Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a obtenu une intégrale particulière d'une différentielle donnée, on ajoute à cette première solution une constante arbitraire pour former l'intégrale générale, Dans le calcul intégral aux différences finies, ce n'est pas une constante arbitraire qu'il faut ajouter à une intégrale particulière, mais la fonction la plus générale dont la différence est nulle. Ainsi (f [x) étant une fonction dont la différence est/(x), il faudra qu'on ait

F(ar)r=ç(x)-hu(x),

TS [x) devant satisfaire à l'équation

Ad [x) =0 (a: -f- A) — xs [x) =. o.

La valeur de la fonction xs [x) est complètement arbitraire quand x varie depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur a 4- A. Pour les valeurs de x, qui ne sont pas comprises dans cet intervalle, la fonction o [x) sera déterminée par la condition de reprendre la même valeur quand x augmente de h. On la nomme, pour cette raison, une fonction périodique.

Cette fonction peut être représentée par une courbe.

Prenons sur Taxe Ox des intervalles AA', A'A",

hl'Al"^. . . ) égaux à A 5 puis, élevons les perpendiculaires

Fig. 139. égales AB, A'B', A"B",....

Traçons à volonté Tare

BMB', etsoitBB'B"B'^..

une ligne composée d'un

nombre indéfini d'arcs

égaux à BMB'. L'ordonnée

de cette courbe aura la même valeur pour des valeurs

de X dont la différence est A, et représentera la fonction thercliée.

On aurait une fonction jouissant de la propriété en question, si Ton prenait .

Ts[x)^W{ sin — — , ces -y- 1 ,

Y désignant une fonction tout à fait arbitraire.