L'intégrale

€?-*Vj?

a été déterminée par M. Poisson à l'aide d'un procédé très-remarquable. Si Ton change x en j^, on aura encore

et, par suite,

Soient maintenant trois axes rectangulaires Ox, Oy.

Oz\ et

les équations d'une courbe située dans le plan zOx.

Si celte courbe tourne autour de Taxe O^:, elle engendrera une surface ayant pour équation

Fiç. io8.

et l'intégrale double

/ e-'^-r'dxdf

représentera le quart du volume compris entre la surface et le plan xOy. On peut évaluer ce volume en le partageant en une infinité de tranches cylindriques dont Oz soit Taxe commun. Lcbtranche terminée aux surfaces qui

TRENTE-HUITIÈME LEÇON. Ig

ont pour rayons r et r-hdr est égale à sa base ^nrdr multipliée par sa hauteur z ou e"**^ : on a donc

'~4Jo

d'où

(I) A='-sfZ.

472. Un procédé analogue peut être employé pour la détermination d'autres intégrales. Supposons que Ton ait à évaluer

jsr

Cette intégrale représente la portion située dans Tangle des coordonnées positives du volume compris entre la surface qui a pour équation

et le plan xOj. Décomposons ce volume en éléments Pis- >09» infiniment petits au moyen

des plans ^OS, zOK menés par Taxe des z, ei des cylindres PQ, RS ayant Oz pour axe ^^TnTpTT — s commun. Si l'on pose OP==r,

^^.^<^ ^l^^^s POx=65 le prisme infiniment

* * petit MPQRS ayant pour base

le rectangle PQRS = rdOdr^ et pour hauteur

z=^f[x^jr) =:/(rcosô, rsine), aura pour volume

rdBdrf(rcosBy rsinO).

L'intégrale proposée pourra donc être remplacée par la suivante .

/ / /(rcosBy rs\n 9) rdBcir^ Jo Jo

dont la valeur sera quelquefois plus facile à trouver

pç^lS|ç=5^^-^-- ;;■.■