V^ I II

\ j^" = a^-^^ af*'-\ mh.if^^ — ....

On voit que le premier terme est égal à l'intégrale de afdx divisée par A, et que le coefficient du second terme

est égal a •

743. On peut trouver \ x"*, et plus généralement N f(x)y par la série de Taylor. On a

/{a:+/0-/(^) ou

ce développement se termine de lui-même quand y*(x) est une fonclion entière de x.

Si Ton intègre les deux' membres, on a

et, si l'on pose y (x) = x'"+%

Pour déduire de là \ a:"', il faut faire successivement

m = o, I, 2, 3,. . .; on aura, C désignant une fonction périodique (737),

La formule générale (738)

/(^o) +/(:r.) + . . . 4-/(^„t) = F(^„) ~ F(xo)

permet de déduire de l'intégrale \ a?'" la somme des

puissances m*'"*" des nombres i, 2, 3,. . ., w.

Si Ton fait A = i, et qu'on donne à x les valeurs o, i,

2, 3,..., w, ce qui change \ x^ en y jf-hx^^ on aura II «(/ï-f- 1)

On remarquera que la somme des cubes des n premiers nombres est le carré de la somme de ces nombres.

f^s-r^--rif^^

a68 COURS d'analyse.