Considérons d'abord une pile à base triangulaire
L Soit n le nombre des boulets contenus sur un côté de la
y base, la base contiendra un nombre de boulets égal à
[ Pour avoir le nombre total N des boulets, il faut faire
\ successivement /i = i, a, S,.-»? ce qui donnera les nom-
\ ' bres de boulets contenus dans les diverses tranches à
\ partir du sommet. Le nombre cherché est donc égal à
\- J. 'i. '2. ^ ' 'JL
[^ ou, d'après la formule (3) du n° 741,
Si la base de la pile est un carré dont chaque côté renferme n boulets, le nombre des boulets de cette tranche sera zt*. La somme de toutes les tranches sera donc
H-a2+ 3»H-...-+-«% et Ton aura (743)
f Soit enfin une pile rectangulaire. Appelons n le nom-
i^ bre des boulets contenus dans le petit côté de la base, et
^- a H- I le nombre des boulets qui forment la rangée supé-
rieure de la pile. Par l'une des extrémités de cette rangée, concevons un plan parallèle au plan du triangle équi- |; latéral qui aboutit à l'autre extrémité. La pile se trouve
|; alors partagée en une pile à base carrée et un prisme
I dont l'arête la plus élevée contient a boulets. Donc, si
CINQUANTE-HUITIÈME LEÇON. 26y
Ton nomme N le nombre des boulets de la pile, on aura
ou
(3) ^^ /i(/?-4-i) r fl-f-i+a(/i + g)l
or, a -H lest le nombre des boulets de l'arête supérieure, et n + a le nombre des boulets d'un côté de la base : donc le nombre des boulets dhine pile rectangulaire est égal au nombre des boulets contenus dans Vune des faces triangulaires y multiplié par le tiers de la somme des nombres de boulets contenus dans les côtés parailèles de la pile.
Il existe une analogie évidente entre la formule (3) et celle qui donne le volume d'un prisme tronqué.
ÉVALUATION DES SOMMES PAR LES INTÉGRALES ORDINAIRES, ET DES INTÉGRALES PAR LES SOMMES.
74S. Soit
Y[x)z= Cf[x)dx ou /(^):
dx
On a, par la formule deTaylor,
Donnant à x les valeurs Xo, JCi, JCsi . . • , JCn-i et désignant Xn par X, il en résultera :
I • 2 \ • Ji . O
a^o COURS d'analyse.
et, en ajoutant, membre k membre,
F (X) -F (xj =A[/(x,) +/(^.) + ... +/(x.,)]
Posons
/(^,)+/(xJ -f-...+/(x^.)=S/(;r),
Comme F(X) — F (x^) n'est autre chose que l'intégrale définie def(x) dx^ prise entre les limites Xo et X, Tégalité (i) pourra s'écrire
*/Xp *•-* 1.2.0
Remplaçanty*(x) successivement par/' (-^^Ij/^Ij^)— dans Tégalité (2), on aura
/(X)-/K) = AS/'(x)^--^S/''W+-^Sr(x)+...
3j l/'(X)-/'(x.) = AS/'(x)+ ils/"'(:r) + -^S/"{x)+... I /"(X)-/''(x.)=ASr(x)+ ils/"(x)+ . . .
Multipliant les égalités (2) et (3) pan, A A, B A', Ci',..., et ajoutant, il vient
j^ /(x)rfx+AÀ[/(X)-/(x.)]+BA'[/'{X)- /'(x,)] '' + C A» [/'(X)-/''(x. )]+,..
: AS/(x) + A'S/'(x) (^ -H a]
CINQU▲^TE>Hf}ITlÈME LEÇON. 27 l
Le second membre de celte égalité se réduit à hSf(x)y si l'on pose
l'on
tire
de là résxdte
-^*'[-^''(^)--^'"Wl + ---
formule qui sert à représenter une somme au moyeu d'une intégrale définie.
