L'équation (5), résolue par rapport à I f[x)dx

fera dépendre la détermination d'une intégrale ordinaire de celle d'une intégrale aux différences finies. En remplaçant S/(x) par/(a:o) +f{Xi)+f{^i) -+-..., on . aura

çy^x) dx = h p^ H-/(^.) +/(*,) + . . . + -^1]

27 'i COURS d'abAlyse.

Le premier terme du second membre représente la somme des trapèzes inscrits dans la courbe j =/{a:),ei ^' déterminés par des ordonnées équidistantes. Quant au premier membre, il représente Taire de celte courbe.

747. Les coefficients A, B, C,. . . étant indépendants dej'(x)^ on peut les déterminer au moyen d'une fonction particulière. Si l'on prend

ou aura

/{x)dx = e^ — «*•»,

Sf(a:)=:e*^ + 6*»+* H- ... H- c^o+Cn-O A = L- fl",

puisque lL=Xo-j- nh. Si Ton porte les valeurs précédentes dans l'équation (4), le facteur e^ — e'» se trouvera commun aux deux membres, et, en le supprimant, on aura

(7) -j = i-i-AA-hB^' + CA3-+-

ff *

Il suffit donc de développer -^—^ suivant les puissances de hj ce qui se fera par la formule de Maclaurin.

On sait déjà que A = 5 l'égalité (7) revient doncà

la suivante,

ou bien

H-BA^+C/*^+DA«-f-... = -fl±^— 1.

Le second membre ne change pas quand h est remplacé par — h. Donc le premier membre ne doit renfermer que des puissances paires de A, et Ton a

FORMULES d'interpolation. FORMULE DE NEWTON.

748. L'interpolation a pour objet de trouver une fonction d'une variable, connaissant les valeurs de cette fonction qui correspondent à un certain nombre de valeurs données de la variable. Ce problème est indéterminé tant qu'on ne fixe pas la forme de la fonction cherchée, car il revient à faire passer une courbe par des points donnés, ce qui peut se faire d'une infinité de manières, tant que la courbe n'est pas définie. Le problème de l'interpolation devient déterminé quand la forme de li fonction est donnée et qu'elle renferme autant de paramètres distincts qu'il y a de valeurs données de la fonction. Par exemple, si l'on se donne ti -h i valeurs d'une fonction entière du degré n, correspondant à n 4- 1 valeurs de la variable, on aura n-hi équations pour déterminer les w -f- i coefficients inconnus.

Nous examinerons d'abord le cas où les valeurs de la variable sont en progression arithmétique.

Soient donc

w -h I valeurs d'une variable, et h leur différence constante. En choisissant convenablement l'origine des x, on pourra faire en sorte que

Xq = Of XiZ=i hy :r2 = 2 ^ , • . . , jrn=:nh.

Soient

Uùy «I, «a,..., Un

les valeurs correspondantes d'une fonction u, que nous supposerons entière et du n**"*' degré. A l'aide da ces valeurs on pourra former les différences successives Auo) A'uo, A'ao, j àruo. Mais on a (731 )

m{m — i) ^ Un=Uo-\-m^Uo-\ • A^a. -h....