En changeant x en x-ha dans Téquation (a), elle devient

Mais on a

«/^oo

/»00 /loO

donc

Les deux membres de cette équation peuvent être développés en séries convergentes, suivant les puissances entières et ascendantes de a, et comme Téquation a lieu pour toutes les valeurs réelles de a, les coefficients des

32 CODES d'analyse.

mêmes puissances de a doivent être égaux dans les deux membres-, d^où il suit que Téquation subsistera si Ton y remplace a par une expression imaginaire. En posant a^=^a, \j — I, d'où e'*"-f- e"^"' = 2 cos 2ax^ elle devient

I e~** ces 2 a X r/.r = - e"~ *** y^Tr.

Ainsi, le passage des quantités réelles aux imaginaires peut faire découvrir de nouvelles intégrales, comme on Ta déjà fait remarquer au n° 466.

INTÉGRALE OBTENUE A l'AIDE d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

477. Un autre procédé consiste à former, entre l'intégrale proposée et l'une des indéterminées qu'elle renferme, une équation di fièrent! elle. qu'on puisse intégrer. Soit, par exemple,

'cos2aarrfjr.

Jo On a

du /•* . /•* .

-7- = — / ûnictx.er'^^xdx =. \ sin2aar.rfc"-'\

"^^ Jo Jo

En intégrant par parties et en observant que sin2a.re"'-'' est nulle aux deux limites, on aura

c'est-à-dire

du C^ .

-7- = — / ^r-''cos2aa:.2aé/j:,

^« Jo

du du

-— = — 2aa, ou — = — lado^i

da u

d'où

Pour déterminer C, on fait a = o : alors (471) ^

donc

TREUTB-HUlTlèMIS LEÇON* 23

e"* ces 2 axdx = - tf-~ *' i/Ç.

EXERCICES