SUITE DES INTÉGRALES DÉFINIES. - INTÉGRALES EULÉRIENNES

rmule fondamentale; applications. — Développements en séries. — )es intégrales eulérîennes. — Définition. — Propriété des intégrales le première espèce. — Relations entre les intégrales eulériennes. — ntégrales multiples qui s'expriment à Taide des fonctions r. — Applications aux volumes et aux centres de gravité.

lÉTHODE DE M. CAUCHY. FORMULE FONDAMENTALE.

478. Soient z une variable imaginaire, r son module p son argument, en sorte qu'on ait

z r= /-(cosy? -f v/ — I sin/?) = re?'f-\

\\.f[z) une fonction de z qui reste finie et continue, Qsi que sa dérivée, pour toute valeur de z dont le molle r est inférieur à une certaine limite R. Supposons, outre, qu'en laissant le module constant et en faisant oître l'angle p d'une manière continue depuis une leur quelconque a jusqu'à la valeur a -h 277, la fonc- )n reprenne, pour p = a -H stt, la valeur qu'elle avait ur p = a. Cette condition, que M. Cauchy omet dans 5 énoncés, mais qu'il suppose dans ses démonstrations, est pas toujours remplie quand la fonction y* (z) a usieurs valeurs différentes pour une même valeur de z, 1 ne considère ici qu'une des valeurs de y* (-s) et la vaiir correspondante de sa dérivée.

Cela posé, je dis qu'o/i a la formule

f[o) = — / f[z)dp

TREJNTE*3rEUTI£ME LEÇON. ^5

OU

pour tout module r moindre que R.

En effet, z étant une fonction de r et de p, si Ton différentiey(-e), lour à lour par rapport à r et à /?, on aura

et, par conséquent,

df{z)^ i__df(z)^ dr r^— I dp

Comme, par hypothèse,/' (z) reste finie et continue pour toute valeur de z dont le module est moindre que R, la même propriété appartient aux deux membres de celte dernière équation. En les multipliant par dr.dp^ et les intégrant par rapport à r depuis zéro jusqu'à r, et par rapport à p depuis a jusqu'à a -H 2 tt, on a

et puisque

on a

Mais le second membre est hul par hypothèse*, par coii-

a6 COURS d'analyse.

séqucnt

/o r^—iJe, ^P

dp = Q,

et

donc

ou

[f{z)-f[o)\dp = o;

dp=:\ f{»)dp,

ce qu'il fallait démontrer.

479. S\f[z) ^lf[z) restent finies et continues pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre r et p^ en appelant ^ la valeur de z qui a p pour module,

f[z)dp=\ /{?)..>:

' f[^)^P est indépendante du

module r, ce qu'on vérifie en différentiant cette intégrale

par rapport à r (451 ).

480. En faisant a = o dans la formule (I), on aura (") /{o) = ^£y{rePyr')dp,

et si Ton y fait a = — 2Tr et que l'on change p en — p, on aura