CONDITIONS RELATIVES AUX LIMITES
775. Lorsque V ne contient que a:, y^ p et q, l'équation K = o, ou
est du quatrième ordre, puisque -^ contient -—^ ou -j-; •
Il faudra intégrer cette équation, et l'on aura un résultat de la forme
^ = f(;p,c, cc'SC"'),
apS COURS D^ ANALYSE.
contenant quatre constantes arbitraires. Pour les déterminer il faut avoir égard à l'équation (2) r=o,
relative aux limites de l'intégration. Mais il est nécessaire de distinguer plusieurs cas.
I** Si Ton donne les valeurs de a:, j", p, q aux deux limites, les variations de ces quantités étant nulles a ces limites, l'équation r = o est identiquement satisfaite, et si l'on représente par {'{x^ C, C, C, C"') la dérivée de f (a:, C, C, C", QJ") , on aura
c'est-à-dire quatre équations qui déterminent les quatre constantes inconnues.
2° Si Fune des six quantités Xq^ y^^ po» ^m ^i* Pi reste arbitraire, pi par exemple, l'équation F = o ne sera pas identiquement satisfaite^ mais il faudra égaler à zéro le coefficient de ^pu et l'on aura l'équation Qj = o, qui, avec les équations (3), déterminera les quatre constantes et la valeur de p^.
3° Si Ton avait entre les valeurs de o:, y^ /?, relatives aux limites, une équatiou
(4) ?(^o, Jo» Po» ^iyXxy Pi) = O,
on différentierait cette équation par rapport au paramètre f, et l'on aurait
dxQ cly^ dp fi dxi dy^ dp^
En portant la valeur de Jpi, tirée de cette équation, dans l'équation F = o, il faudra égaler à o les coefficients de (JjTo, ^joî ^Poj àx^ et 5^1. On aura donc cinq équations qui, réunies aux équations (3) et (4), détermineront les dix inconnues C, C, C", C', a:©, ^o* /^o5 ^i? JTi? Pi-
SOIXANTIEME LEÇON. 297
Ces exemples suffisent pour montrer comment on devrait opérer, si Ton avait deux ou un plus grand nombre d'équations relatives aux limites.
CAS ou LA FONCTION V CONTIENT DEUX FONCTIONS DE JT.
776. Supposons maintenant que la fonction V contienne deux fonctions j et z de la variable x. On aura alors (768)
(1) $ f \dx=zT-^ f *(K« + KV)r/ar = o.
Cette équation équivaut aux suivantes
En effet, o) et c*)^ sont deux fonctions de x arbitraires et indépendantes Tune de l'autre, et F ne contient que les valeurs des variations relatives aux limites de T'utégrale*, donc, si K et K' n'étaient pas nulles, en laissant constantes les valeurs relatives aux limites, on aurait F = o, tandis qu'on pourrait faire varier tù et o)' de telle sorte
que l'intégrale i (Kco -|- K'o)') dx ne fût pas égale à o.
On doit donc avoir
et par conséquent
Les deux premières équations déterminent^ et z en fonction de X. La troisième sert à déterminer les constantes introduites par l'intégration des deux premières.
777. Nous avons supposé que^ et z étaient des fonctions indépendantes l'une de l'autre. S'il existait entre elles une relation
les variations ^y et ^z ne seraient plus indépendantes.
apS couEs d'analyse.
On doit avoir, dans ce cas,
dF ^ dF ^ dF ^
•— Sx -{--—-djr -h —- Sz = o, dx dy dz
équation que Ton obtient en différentiant l'équation (i) par rapport à t. Remplaçons èy et $z par leurs valeurs
$jr z=z pSx -{- ^y $z-= p'Bx •\- (a' :
il vient
OU
ld¥ dV dV ,\ . dV dF ,
ou enfin
dF dF ,
car on trouve
rfF rfF d¥ ,
-di^ipP-^-diP='''
en différentiant Téquation (i), par rapport à x. De Téquation (2) on déduit
