LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS DANS UN PLAN

780. On demande la ligne située dans un plan, passant par deux points A e^ B, et qui soit la plus courte qu^on puisse mener entre ces deux points.

I' Prenons deux axes rectangulaires dans ce plan, soient

( ^o)JKo les coordonnées du point A et Xx^jx celles du

[; point B. Dans cet exemple on doit avoir

et (774) mais (764)

Il faut donc qu^on ait il s'ensuit

= const.,

V/iH-/.»

ou, ce qui revient au même,

d'où

(2) jz=C.r^-C',

C et C étant deux constantes. D'ailleurs, il suflBl que l'équation K = o soit satisfaite, puisque, les valeurs dex et de j^ relatives aux limites étant fixes, les variations $Xo, ?/o) 5^1 î ày\ sont nulles, et, par suite, on a iden-

SOIXANTIÈME LEÇON. 3o

tîquement F = o, La ligne cherchée est donc une lign droite-, les constantes C et C se détermineront parle équations

jo = C:ro -H C, y, = Car, -I- C.

LIGNE LA PLUS COURTE d'uN POINT A UNE COURBE PLANE

781. Soient A et BB' le point et la courbe donné dans le plan a: q;" ; et

Féquation de la courbe.

Soit, de plus, AB la ligne I plus courte menée du point A un point de la courbe donnée L'extrémité A de la ligne AB est fixe; Tautre extrémit peut varier de position sur la courbe BB'.

En conservant les notations du cas précédent, on arriv encore à l'équation

(2) y = Zx^Ç/\

la ligne cherchée est donc une ligne droite.

Il faut maintenant déterminer les constantes C et C Or, on a

mais les variations àx^ et hy^ ne sont assujetties qu'à 1 seule condition que le point (:ri -h SoTi, j^i + dj'i) soi sur la courbe donnée. On a donc

Fig. i32.

<î^i-+-/?i^Ji=.o,

OU

(3) i4-Cf(:r.) = o,

d'où

et comme

on en conclut

puisque

CODHS D ANALYSE.

Pi = C.

On déterminera ensuite les constantes au moyen des équations

Jo = CoTo -I- C, I + Cf (JT, ) = O,

Il résulte de l'équation (3) que la ligne la plus courte entre un point et une courbe est une droite normale à cette courbe,