Soient

les équations de deux courbes situées dans le même plan. En raisonnant comme dans le cas précédent, on trouve

que la ligne cherchée est encore . une ligne droite,

mais la détermination des constantes ne se fait plus de la même manière. Dans ce cas (Jxo, J/o?

^Xi^ ^jx peuvent varier pourvu que le point A'(To-f- Jxo^ Jo-f- ^Jo) reste sur la courbe (i), et le point B'(a:i -+- 5a:i,ji -h âji) sur la courbe (2). Mais l'équation F = o (767) se réduit à

qui se change, comme dans le cas précédent, en celle- li :

(4) dx, [i -h Cf (^,)] -^ ^Xo[l -4- C^\x,)]=o,

à cause des équations

SOIXANTIEME LEÇON. 3o3

Or, les variations Sxo et Sxi é i an t indépendantes Tune de l'autre, l'équation (4) se partage en deux,

qui, réunies aux suivantes,

déterminent complètement les constantes C et C, et les coordonnées a:^, ^q, ^15^1 ^^s extrémités de la droite minimum.

Les équations (5) font voir que la ligne la plus courte entre deux courbes planes est une normale commune aux deux courbes proposées .

EXERCICES

i . Trouver la fonction qui rend maximum V expression

J' (i -=^=-\-ay\dx.

Solution : y = \/ j~~2 — ^*-

2. Trouver la courbe qui rend maximum ou minimum Cex^ pression

Solution : En coordonnées polaires

3o4 COURS d'aiïàltse.