AUTHE MANIERE DE RÉSOUDRE LES PROBLEMES PRÉCÉDENTS
783. Au lieu d'appliquer les formules générales, on peut opérer dîrectement comme il a été expliqué n® 770. Dans les trois problèmes qui précèdent on doit avoir
(i) 8 f '^da:^'hdj'' = o;
mais en posant ds = y/dx* -h ^* , on a
et comme l'intégration par parties donne
'— ddx =z-— Sx— I $xd —-, as as J ds
l'équation (i) prend la forme
Mais de l'idcDtité
on lire
d'où
SOIXANTE ET UHIÈME LEÇOIT. 3o5
dx ,(ix dr ,dr
ds ds ds ds
ds dx ds ds
Donc, pour que la quantité placée sous le signe d'in-
dx Is
tégration soit nulle, il suffit que l'on ait ^i -r- = o, ou
d — = o. Supposons
il en résulte
)/i-hp'
d'où
et
(4) r = cx + c',
équation d'une ligne droite.
784. Déterminons maintenant les constantes d'après la nature du problème proposé.
I** Si les deux points (j^oj^o)» (^lîJK'i) sont donnés, les variations des limites Jx©, Sjo^ i^i^ Sji sont nulles, et l'équation F = o, ou
est satisfaite ideniiquement. Les constantes se déterminent, alors, par les équations
y. = Cx, -f C, yx = Cx, -f. C.
2*^ Si le point A (o:©, /o) est fixe, et que l'autre point B(a'i,j^i) doive se trouver sur une courbe donnée,
STCaM.— -<:/«., II. 20
3o6 COURS d'analyse.
on a
et l'équation F = o se réduit à
dxi $Xi -h dft ^/t = o,
donc la droite (4) est normale à la courbe (5)^ car jri=!^^ (Xi) donne Sj^ = ^*{Xi) $Xi , et, par suite, on a
Les constantes C, C et les coordonnées du point extrême B sont déterminées par les équations
X, r=r C^o -4- C\ I + Cf («,) ~ O,
3° Enfin, si les deux points A et B doivent se trouver sur deux courbes données
on aura
ce qui donne
L'équation F = o se réduit alors à
[dXi 4- dfi ^\xi)] ^07, — [rfjTo -f- df^ «p'(aro)] ^^o = O et se partage en deux équations :
parce que $Xo et $Xi sont des quantités indépendantes, et arbitraires. Ces deux équations montrent que la droite cherchée est normale aux courbes données.
SOIXAI9TE ET UNIÈME LEÇON. Soj
Les constantes C et C, les coordonnées a^oj/o? ^n JKi des extrémités de la droite minimum sont déterminées par les six équations
ro = Cd:o-+-C', jro = 9{^o)y I H- C/(Xo) = O, jr, = Cx, -\- C, 7i = ^^ (;r,), I -4- Cf (^0 = o.
