LIGNE LA. PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS, DANS L^ESPACE

785. Jusqu'à présent nous avons supposé que les lignes considérées étaient situées dans un plan donné. Cherchons maintenant quelle est, dans l'espace, la ligne la plus courte unissant deux points A et B.

Soient Xo, j'oj ^0 les coordonnées du premier point, eta:i,j^i, Zi celles du second. La longueur de Tare AMB sera représentée par

Fig. i34.

Nous aurons donc -^

d'où

.. , dxdSx -4- dfdSx -^ dzd$z

oydx=. :

ds '

et par conséquent, en intégrant par parties :

\ X, \ * ds dsj

Il faut maintenant égaler à o l'expression placée sous le

3o8 COI}RS D*ANALTSE.

signe / , et comme les variations dj:, Sy, Sz sont indépendantes et arbitraires, on aura

(2) d---=zo, rf-f =0, d-y-=o.

^ ' ds ds ds

Mais, ces trois équations se réduisent à deux distinctes. En effet, de Tidentité

on tire

dx^ dy^ dz" ds^ ds^ ds*"'

dx dx dr ,dr dz ,dz

ds ds ds ds ils ds

donc si Ton a d-7-=o, d--=o. il en résultera ds ^ ds ^

,dz

Des équations

.dy dz

d — — o • »— •""" o • ds ' ds *

on tire, par une première intégration,

dy dz ,

OU, ce qui revient au même,

dy dz ^

^-""^ di-'''

et, en intégrant de nouveau,

(3) y = cx-hCy z = c'X'hC,

équations d'une ligne droite.

786. Pour déterminer les constantes c, C, c', C, il faut distinguer plusieurs cas.

1** Si les points A et B sont donnés, les variations $Xo^ 5/oî J^o> 5^tj JjTi, Szi sont nulles, et Téquation

'■On^'*.

SOIXANTE ET UNIEME LEÇON. Sop

r = o est satisfaite. Les quatre constantes se déterminent eu substituant les coordonnées des points A et B dans les équations de la droite.

2** Supposons que les points A et B doivent se trouver sur deux courbes IK, LN, ayant pour équations, la première :

et la seconde :

(5) j=cî,(x), z = W(a:);

l'équation r = o, formée au moyen de l'équation (i), donnera

(tix ^ dy ^ dz ^ \

i __ fdx$x dy By dzBz\ '\ds S(T ds $(T ds $(t).

En effet, appelons îcjo et dd^ les deux arcs infiniment petits AA' et BB', situés sur les courbes données; A'B' étant une courbe quelconque infiniment voisine de la droite AB, on pourra mettre V sous la forme

Les facteurs placés entre parenthèses ont des valeurs finies, car ils représentent les cosinus des angles que la droite AB fait avec les courbes aux points A et B. Comme, d'ailleurs, ^Œq et d(7i sont des quantités indépendantes l'une de l'autre, on voit bien que l'équation F = o entraine les suivantes :

(dx $.T dy $y dz $z\ ds S(T ds ^0- ds $(tj i ' /dx $x dy Sy dz $z\ __ \di J^'^dJ 'ëi'^di ^ï j/" ®'

Googlq

3 10 COURS d'â.nàltse.

et ces équations, qui sont au fond les mêmes que les équations (6), expriment que la droite AB est normale aux deux courbes.

Â cause des équations (3) , on a

€1, puisque les extrémités de la ligne AB doivent rester sur les courbes (4) et (5) , on aura

Les équations (6) peuvent donc se mettre sous la forme

l + cç'(j:„)+c'cl>'(jr„)=o, tt, réunies aux huit équations suivantes,

Zo = 4*(^o)> z,=:Y{ar»),

elles forment un système de dix équations propre à déterminer les quatre constantes et les six coordonnées des points extrêmes de la droite.

3^ Supposons que les points A et B doivent être sur deux surfaces données. On pourra encore mettre F sous la forme (7), en appelant djo et îgti deux arcs infiniment petits AA', BB', situés sur les deux surfaces ; et comme les déplacements des points A et B sont indépendants Tun de l'autre, on aura encore

(dx $x dy $y dz $z\

ds $(T ds â(T ds âcr/9 '

(dx $x dy ^y dz ^z\

ds ^fs ds ^fi ds ^a)i

La première équation exprime que la droite AB est normale à une courbe quelconque située sur la première surface et passant par le point A : donc la droite AB est normale à la première surface. Cette droite est, par la même raison, normale à la seconde surface.

Les constantes et les coordonnées des points A et B so détermineront comme dans le cas précédent.