Soit

(1) F[a:,y,z)=zO

r équation d^une surface courbe^ proposons-nous de trouyer la ligne la plus courte AMB que Von puisse tra~ cer sur cette surface entre deux de ses points A etB,

Soient Xo, /o9 ^o les coordonnées du point A, et oTi, y^, Zi celles du point B.

Toutes les courbes que Ton doit comparer étant sur la surface (i), les variations des coordonnées doivent satisfaire à Féquation

dF dY dF

^ ' dx dy dz

L*une des conditions du minimum est

(3) Y. = $xd^-^ $jrd^-^$zd^=:0.

ds ds ds

Mais de Téquation (a) on peut tirer la valeur de 5 2, et la porter dans l'équation (3), qui devient

^ d^^%d±.\+$yi d±-'^d^-l « ds d£ ds 1^ ^ \ dx dF ds

dz / \ ^

et cette équation^ à cause de l'indépendance des variations

Sx et âj-, revient aux deux suivantes

dF dx dx dz

ds dF ds "dz

ds dF ds

"dz

ce qui fait, avec Téquation de la surface, trois équations pour déterminer les deux fonctions j^ et z. Mais on doit observer que l'une des équations (4) est une conséquence de l'autre et de l'équation (i). En effet, on tire des équations (4)

ds dF ""

dF de '

djr ds

ou bien,

en désig

nant par

d}. la valeur

commune

CCS

trois rapports,

dF ,.

dz ds

Ajoutons ces équations, après les avoir multipliées res-

dx dy dz pectivement par -;r^ -j-^ "T ' ^^^^ aurons

dx ,dx dy ^dy dz ,dz

, ds ds ds ds ds ds (5) <

^ ' i fdF ^ dF , ^F , \ d\

Or, le premier membre est nul, puisqu^on Tobtiendrait

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SOIXÀIfTE ET VJNI£!ttE LEÇON. 3l3

en diflérentiant Téquation

dx^ dr^ dz^

^/A^ ds^ Cls^ '

le coefficient de -r-j dans le second membre, est aussi nul ds '

à cause de Téquation (i). Donc Téquatlon (5) est une identité. Par conséquent, Tune des équations (i) et (4) est une conséquence des deux autres. Il suffira de considérer deux de ces équations, pour que la ligne cherchée soit déterminée.

788. Les lignes les plus courtes sur une surface sont nomniées lignes géodésiques de cette surface : elles jouissent de cette propriété que tous leurs plans osculateurs

sont normaux à la surface. En effet, soit K le centre de courbure de AMB au point M. La droite MK fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

.dz

Fig. i35.

^dx lis

D'un autre côté, la normale à la surface, au point M, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à

dY dY dF

dx djr

Mais, d'après les équations (4), ces trois dérivées sont proportionnelles aux quantités (6). Donc les angles formés par les deux droites avec les axes sont égaux, et la normale à la surface a même direction que le rayon de courbure, ou, en d'autres termes, le plan osculateur en un point quelconque M d'une ligne géodésique est normal à la surface.

Les constantes se détermineront comme dans le pro-

3l4 COURS D*A1KALTSE*

bième précédent, et l'on verra de la même manière que si la ligne cherchée doit aboutir à deux courbes données sur la surface, la courbe AMB les coupera à angle droit.

789. Il convient d'observer que la propriété d'être la ligne la plus courte entre deux points quelconques d'une surface peut n'exister que sur une certaine portion d'une courbe. Par exemple, sur la sphère, le plan de tout grand cercle (qui est en même temps son plan osculateur) est normal à la surface. Mais la propriété du minimum appartient seulement aux arcs de grand cercle moindres qu'une demi-circonférence.

SURFACE DE RÉV0LUTI017 MIZTIMUH.

790. Étant donnés ^ dans le même plan ^ deux points A et B, et une droite CD, trouver une courbe AMB, située dans ce plan, et qui, en tournant autour de CD^ engendre une surface de résolution dont l'aire soit la plus petite possible.

Prenons pour axe des x la droite CD, et pour axe des^ une perpendiculaire à cette droite. Soient j:o,yo les coordonnées du point A, et x^^ji celles du point B. La surface engendrée par AMB étant représentée par

2 7: / jds^XdL question proposée revient à chercher le minimum de j jds. Or, on a

\ Xfls= j Sxds=: f Sxds-hySdsi

mais d'où donc

ds^ds=idx$dx -f- dy^dy = dxd^x -f- dyd$y\ sf 'xds=f '$jrds+x^d9x^x^dSf,

SOIXANTE ET I3N1EME LEÇON. 3l5

et, en întëgrant par parties,

11 faut égaler à zéro la quantité placée sous le sîgue i dans le second membre, ce qui donne

(,) rf,-rf(^|)=o.

Mais la seconde équation est une conséquence de la première. En effet, on a identiquement

car cette équation revient à

(ùc ,/ eia:\ dr , dr ^rdy

ds \dsl ds ^ ds ds '

^ (djc* dy'\ , (dx dx dy dyX

conséquence des équations

dx^ dy^

— d— A- ^d— — ils ds ds ds

Il suffit donc de considérer Téquation (i), qui donne

d*où

3i6 couBs d'analyse.

et, en résolvant par rapport à dx^

L^inlëgrale de cette équation est

:-0'=.cl(^+^f— '),

d'où Ton tire

équation d'une chaînette (574-, 2°).

Les constantes c et c' se déterminent comme dans l'exemple précédent. Si l'on fait passer l'axe desj^ par le point le plus bas de la courbe, on a c' = o, et

yzzzztyc^^e"^).

Si les points A et B, au lieu d'être fixes, devaient se trouver sur deux courbes données, on obtiendrait encore une chaînette normale à ces deux courbes.

EXERCICES

1. Plus courte distance de deux points sur la surface d'un cylindre.

Solution : Courbe faisant avec les génératrices un angle constant.

2. Parmi les courbes planes gui, passant par deux points fixes, tournent autour du même axe situé dans le même plan et engendrent une surface dont Vaire est donnée, trouver celle qui donne lieu au volume maximum,

(f-b)djr

Solution : <ir =

\/aY-{y'-b)'

SOIXÀffTE-DEUXiÈME LEÇON.