SUITE DES APPLICATIONS DU CALCUL DES VARIATIONS
Brachifltochrone. — Remarques sur Téquation K=o. — Maximum on minimum relatif. — Problèmes sur les isopérimètres.
Fig. i36.
BRACHISTOCHROIfE.
791 . Problème. — Étant donnés deux points A et B, troui^er la courbe AMB gue doit suii^re un point pesant pour aller du point A au point B dans le temps le plus court possible. Cette courbe s'appelle brachistochrone, ou courbe de plus vîte descente.
Prenons une verticale quelconque pour axe des a?, et deux axes rectangulaires Oz et Oy dans un plan horizontal quelconque. Si Ton suppose que le mobile soit parti du point A (xojj^o, ^o)? sans vitesse initiale , on aura, en désignan t par Y sa vitesse au point M(x,y^z)j
Mais s étant l'arc parcouru, et t le temps écoulé, on a
valeur qu'il faut prendre positivement, parce que l'arc augmente continuellement avec le temps. Il en résulte
ds
3i8 covBS d'analyse.
d'où
I ds
dt=
On aura donc, en nommant T le temps nécessaire pour parcourir l'arc A6, et Xi Tabscisse du point B,
Il faut maintenant chercher la variation de l'intégrale
En posant on aura
Mais
d'un autre côté,
àx ^^ dy ,^ dz .^
Sds=: — dSx-+- '^d$f-{-'T-dSz.
ds ds ds
Mettant ces valeurs dans Téquation (3) S Cxds = o,
on a
Sx^ 1 - (« — ^o) ^ds
Intégrant par parties, et faisant sortir du signe / les
SOIXANTE-DEUXIEME LEÇON. 3l9
difleren délies des variations, on a défînitivement
H $x{x — X,) ^ds I = o.
Pour que la quantité placée sous le signe /dans la
seconde intégrale soit nulle, il faut égaler à o les coefficients des variations $Xj Jy, $Zj ce qui donne
(4) i(x~x,)"^e/. + ^^xJ) = o,
Les deux dernières équations sont suffisantes ; car on a identiquement
puisque Mais
On aura donc, en ayant égard aux équations (5),
dx^ 4- dy-*^ H- dz^
ds^
dx
ds \ ds J 2
c'est-à-dire Téquation (4).
Digiti
3ao COURS d'analyse.
On tire des équations (5)
ds
OU
(fi) ' ''"-
T dz
^ ^ sjx-x,<is
yjœ^x.^
d'où l'on déduit
dy.
dz ~
et
792. Cette équation montre d'abord que tous les points de la courbe sont dans un même plan vertical.
En remplaçant ds par yjdx^ -f- dj^ et C par — pour
sfa
Thomogénéité, on déduit de la première des équations (6)
dy
Si Ton prend le plan de la courbe pour. plan des x^, et le point de départ  pour origine des coordonnées, on a ro = o, et l'équation différentielle de la courbe se réduit à
dYz=zdxk I
La cycloïde représentée par cette équation a un point de rebroussement au point A, sa base est horizontale, et le diamètre de son cercle générateur est égal à a. En intégrant l'équation (8)^ un a
r = - a arc cos ^ ax — x^.
On déterminera la constante a, c'est-à-dire le diamètre du cercle générateur, en exprimant que la courbe passe
par le point B (a?i,/j ). On peut aussi obtenir ce diamètre par la construction suivante. Décrivons une cycloïde quelconque ayant son sommet au point A et pour base A/; soit b le point où AB rencontre cette courbe. A cause de la similitude des deux cycloïdes, c et C étant les centres des circonférences génératrices qui correspondent aux deux points b et B, les triangles ABC, Aie sont semblables. Or, les points i, B et c étant connus, il suffira pour avoir le centre C de mener BC parallèle à ic jusqu'à la rencontre de Ac prolongé.
Le temps employé par le mobile pour aller du point A
au point B, est égal à -pr^ / -^ (791), en prenant l'o-
rigine des coordonnées au point A. On aura donc, d'après l'équation de la courbe,
T=:-— = ; — i / — arc ces r (1,350.
793. Supposons maintenant que les deux points A et B, au lieu d'être donnés, soient assujettis à se trouver sur deux courbes données CD, EF. On obtient encore une cycloïde AMB, située dans un plan vertical. Pour déterminer les points A et B qui fixent sa position, il faut recourir à l'équation générale F = o, qui est, dans ce cas (791),
Jx. i^ — ^,)
Comme les déplacements des points A et B sur les deux
Sturm. — ^/t., II. 21
3212 COURS d'ànàltse.
courbes sont indépendants Tun de Tautre, on a d'abord
Cette équation exprime que le cosinus de Tangle TBU est
nul, BT et BU étant les tangentes menées par le point B aux deux courbes EF et AB :
donc la cycloïde AMB coupe la courbe EF à angle droit.
Il faut maintenant égaler à o le reste du premier membre de réquaiîon F = o 5 mais, auparavant, on peut simplifier celte équation» En effet, on a, pour tous les points de la courbe AMB (791),
dx r =0,
ou
d'où l'on lire
Substituant cette valeur dans l'équation F = o, elle se réduit à
Cette équation peut être rendue symétrique par rapport aux variables. On a trouvé (791), Cet C étant deui constantes,
SOIXAUTE'DEUXIEME LEÇOIf. 323
donc
L'équalîon { 2 ) devient alors
et, en divisant par Xi, facteur commun,
Cette dernière équation exprime que la tangente à la cycloïde au point B est perpendiculaire à la tangente menée à la courbe CD parle point A.
Les constantes et les inconnues ^0? /o» ^o? ^uj^i, -^i se détermineront comme dans les exemples précédents.
REMARQUE SUR l'iWTÉGRATION DE l'ÉQUATIOW K = O.
794, C'est ici le lieu de placer quelques observations relatives à Téquation différentielle
i^ Supposons que N soit nulle, c'est-à-dire que y n'entre pas explicitement dans Y. L'équation (i) se réduit alors à
rf. -^^. ='*■
d'où résulte
dx
Cette équation n'est plus que du troisième ordre, si Vne contient pas de dérivées d'un ordre supérieur au second.
a^ Si M = o, c'est-à-dire si x n'entre pas explicite* aient dans V, l'équation K = o se réduira encore au troisième ordre, en prenant y pour variable indépendante^
mais on peut encore la réduire au troisième ordre delà manière suivante. A cause de M = o, on a (764)
ciy = NûTj + Vdp -f- Qdq-y d'ailleurs
cix dx^ Éliminant N entre ces équations, on aura
d'où
équation du troisième ordre seulement.
3° Si Ton avait, à la fois, M = o, N = o,réqualion(3) se ramènerait au deuxième ordre. On aurait alors
d'où
dP d^Q dx ~dx^ ~"^'
et Féquation ( 3 ) deviendrait
Voici un problème dans lequel ces simplifications se présentent.
795. Problème. — Trouver une courbe plane AMB telle y que Vaire ACBD comprise entre Varc AMB, les rayons de courbure AC et BD qui correspondent aux deux points extrêmes A et B, et la portion de développée CD comprise entre les centres de courbure C ef D soit un minimum.
Il ne peut pas y avoir de maximum, puisque AB deve^
SOIXANTE-DEUXIEME LEÇOlf. 3^5
nant une ligue droite, la surface 'correspondante serait infinie. En prenant une courbe peu différente de cette droite^ on aurait donc une aire aussi grande qu'on voudrait.
Soient MK et M'K' les rayons de courbure de deux ^'^e- "Sg. points infiniment voi-
sins M et M'. Le triangle infiniment petit MK'M' est ëgal à
-pdsy en appelant p
le rayon de courbure MK, et ds Tare infiniment petit MM'. On en conclut aisément que la surface en question a pour mesure
ri
dXy
x^ et Xi étant les abscisses des points extrêmes A et B.
Comme la fonction V ne contient explicitement ni x ni j^, nous appliquerons la formule (794)
(i) V=:Qy-+-c'/> + c:
or,
on a donc ou
lq 2q
Comme p = ^ — ) cette équation revient a
Sli-^p'
FS?rT^:ï>'';'
fm\ ■■■
Mi^'
3a6 COURS d'analyse.
Soit Fangle MTx que fait la tangente MT au point M {Xyj) avec Taxe Ox : on a
p I tango =7?, siD Q = — % co8Q= ■ ■
yT-hp ^i -4-/?'
Par conséquent,
pzzr c'sinô H-ccosO.
Soient a et a deux nouvelles constantes, telles que c= — aasina, c'=r2acosa,
on aura
sina
COSa =
on a ainsi
= 2asin
sjo" -4- c'2 '
Prenons deux nouveaux axes rectangulaires Ox' et Oj', tels quex'Oa: = a.
Si Ton fait 9 — a = S', on aura
p = 2 a sin ô'.
Formons l'équation différentielle qui convient à ces nouveaux axes. On a
dr tango' =:^,
d'où
sinG'
Remplaçons p par -^ ? valeur qui suppose la
DJgJtlzed by
courbe concave vers l'axe des a; : on a
dx^ dx
équation différentielle de la courbe cherchée, par rapport aux nouveaux axes. On tire de cette équation
dxz=: ■
d'où
En supposant la constante c connue, on peut imaginer que l'axe des j^ soit transporté parallèlement à lui-même ^ de telle sorte que toutes les anciennes abscisses soient diminuées de c. L'équation différentielle de la courbe est alors
dr^^
ou
(6) dy = dx^^^i.
La courbe cherchée est donc une cycloïde dont Taxe est dirige suivant Taxe des x, et dont la tangente au sommet est Taxe des J-.
Pour déterminer les constantes, au nombre de quatre^ que renferme Téqualion de la courbe rapportée aux anciens axes, il faut distinguer plusieurs cas :
i^ Si les points A et B sont donnés ainsi que les tangentes à la courbe en ces points, Téquation F = o est satisfaite identiquement*, car on a Jj:^ = o, Jy^ = o, $p^ rrr o, . . . . Ou aura les quatre constantes en substituant
les coordonnées des points A et B dans l'équation de la courbe, et en exprimant que les tangentes en ces points sont données.
a° Si Ton donne les points A et B, sans donner les tangentes à la courbe en ces deux points, l'équation F = o deviendra
Qi ^Pi — Qo ^Po = o, [
et comme les variations $pi et $p^^ sont indépendantes Tune de l'autre, il faut que Ton ait séparément
Q. = o, Q« = o; on a trouvé, généralement,
et comme i -f* p* ne peut pas être nul, il faut que Ton ait
On déduit de là que le rayon de courbure est nul aux points A et B : ces points sont donc les points de rebroussement de la cycloïde.
3° On peut se donner le point A ainsi que la tangente à la cycloïde en ce point, et supposer que le point 6 doive se trouver sur une courbe donnée
Dans ce cas F équation F === o se compose de deux parties : un terme contenant ^Xi, et le terme Qj ôpi] dxi ei dpi étant des variables indépendantes, on doit avoir Qj = o, d'où ^1 = 00 . Ainsi, le point B est encore un point de rebroussement de la cycloïde.
MAXIMUM ou MINIMUM RELATIF.
796. Dans les questions précédentes, il s'agissait de rendre maximum ou minimum une int^ale définie
J^ Ndx^ sans autre condition. On peut ajouter au problème la condition qu'une autre intégrale définie \}dx ait une valeur déterminée /. Par exemple, soit
proposé de trouver parmi toutes les courbes planes de même longueur /, terminées à deux points A et B, celle dont l'aire comprise entre cette courbe, Taxe des abscisses et les deux ordonnées extrêmes est un maximum. La question consiste à déterminer y en fonction de x^ de telle sorte qu'ayant
dx sJl-\- p^^=:ly
l'intégrale / ydx ait une valeur plus grande, ou plus
petite, que si l'on remplaçaitj^ par toute autre fonction de X satisfaisant à l'équation précédente. On dit alors que l'intégrale admet un maximum, ou un minimum, relatif,
797. Supposons qu'il s'agisse de rendre maximum l'intégrale / Wdx^ avec la condition
(i) Ç''\}dxz=zL
Les variations de ces intégrales doivent être nulles, si l'on compare la fonction de x cherchée avec celles qui
conservent à / Uctc la même valeur. On doit donc
avoir
(2) ^/ \dx=Oy $1 Vdxz=o.
Ed développant ces deux conditions comme on l'a fait
33o COURS d'analyse.
\ pour le maximum absolu, on a deux équations, telles que
\ (4) -t- I "Ltùdxz^zo-,
^ r, ©, K et L sont des fonctions que Ton formera comme
\ il a été dit plus haut. Mais ici il ne faut plus poser séparë-
p ment F = o, K = o, car co n'est plus uo^ fonction entiè-
: remeat arbitraire de x. Pour trouver les conditions qui
^ doivent être remplies dans ce cas, il faut d'abord élimi-
\ ner w. Posons
(5) f L(odx = (f{x)^
l , d'où
Par conséquent,
