En remplaçant /(-s) par f{x-h-e) dans la for

THEMTE-WEUVIÈME LEÇOW. SJ

mule (I), on en déduit

(III) f(ar) = — r(^ -4- rcPy/-') dp,

car on a/(o) = f(j:). Ainsi, une fonction {(x) d'une variable x, réelle ou imaginaire, peut être représentée par une intégrale définie, pourvu que {{x -H réf^) reste finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour la valeur attribuée à ret pour toute valeur moindre, et que cette fonction reprenne la même valeur quand p augmente de 27r.

jipplîcations.

482. Les formules précédentes donnent les valeurs d^une classe nombreuse d'intégrales définies. Prenons d'abord

Cette fonction et sa dérivée deviennent infinies pour z = i , valeur dont le module est / == 1 5 mais elles sont finies et continues pour toute valeur moindre que i attribuée au module. On peut donc appliquer la formule (II) qui donne, pour r <] i ,

d'où

Jo I — rcos/? — y— irsiD/>

J[^^^(i — rcosp -f \/^i rsinp) o

dp;

I — H rcosp -hr^ et, en séparant les parties réelles et les imaginaires,

(i — rcosp) dp

! z —— 27r^ ^ I — 2rcQsp + r^

Jf*2n o ^^

sm ptip

2 rcosp -H r^

Celte dernière formule est d'ailleurs évidente, puisque les éléments de l'intégrale qui correspondent à des valeurs de p dont la somme est 2Tr sont égaux et de signes contraires.

483. On trouve directement la formule (») en observant que la fonction peut être développée en une

série convergente quand le module de z est moindre que Tunité. En effet, dans ce cas,

d'où résulte la série convergente

r^^ dp r^'f r^'^ c^"" ,

Mais on a

dp z=z 27r, o

et, d'ailleurs, pour tout exposant positif différent de zéro.

z"dp = r^ j e"P\^dp = o;

I — - — =2jr.

Jo '-^

donc

484, Faisons dans la formule (II) f(z) = e^\ Cette fonction, ainsi que sa dérivée, est finie et continue pour toute valeur de z, et n'a qu'une seule valeur. On a donc, quel que soit le module r,

d'où l'on tire, en faisant ar = 6 et en séparant les quan-

TRENTE-NEUVIÈME LE^ON. ap

lîtcs réelles d'avec les imaginaires,

j ^«="f cos(^sin/?) dp ~ 27r,

/ c**^o«A'sin (bsinp)dp =z o.