PROBLÈMES SUR LES ISOPÉRIMÈTRES
799. Étant donnés deux points C et D sur un plan, Fig. i4o. trouv^er parmi toutes les cour-
bes de même longueur, situées dans ce plan, et terminées aux points C et D, celle pour laquelle l'aire ABDC est un maximum.
On doit avoir
et il faut chercher le maximum de l'intégrale / ydx.
cy^
D'après la théorie précédente, on devra chercher le maximum absolu de l'intégrale / [ydx-h a^fdx^-hdy^)^ ce qui conduit à poser
(i) $i {ydx'\-a sjdx^ -{- dx') = o.
Comme les limites x^ et Xi sont fixes, la partie de la variation désignée par F est identiquement nulle. On peut, en outre, ne faire varier que x. On a ainsi
ou, en intégrant par parties, et négligeant la quantité placée en dehors du signe / , qui est nulle,
et, en égalant à o le coefficient de $x^
d'où
Remplaçons d^ par y/dx^-h dj^^ et résolvons par rapport à dx. Il viendra
^ {y-c')'ty .
d'où
et
(4) (x-cY+{,x-<^)'=a\
Ainsi, la courbe cherchée est un arc de cercle.
800. Problème. De toutes les courbes isopérimitres que Von peut tracer sur un plan entre deux points donnés A et B, trouver celle qui, en tournant autour de la droite Ox, engendre la plus grande, ou la plus petite surface de révolution.
Il faut chercher le maximum, ou le minimum, relatif
de l'intégrale / yds^ avec la condition
ds = l.
La question se ramène (798) à la recherche du maximum , ou du minimum , absolu de
-• et comme a est une constante, on obtiendra le même résultat qu'en cherchant le minimum absolu de \yds, problème déjà traité (790) , et qui donne la chaînette.
801. Problème. De toutes les courbes isopérimètres, trousser celle qui engendre le volume de rév^olution minimum»
L'équation du problème est , dans ce cas ,
8 j [x^dx -+- ads) = o;
comme les deux points A et B sont donnés, on peut ne faire varier que x et faire abstraction de la partie F, qui est identiquement nulle, puisqu'il n'y a pas de dérivée d'un ordre supérieur au premier. D'après cela on aura
d'où
dx
SOIXÀNl'E-DEUXlèMB LEÇON. 335
On déduit de là, en remplaçant ds par yjdx*-hdy*y
équation différentielle de la courbe élastique (572).
802. Problème. Déterminer la courbe qui, par sa rét^olution autour d^un axe (l'axe des x) engendre la surface minimum qui renferme un volume donné.
Ce volume étant n l jr^dx^ et l'aire aw fj'dsj il faut
poser (798)
(i) S I x^dx -+- !iafds=o,
a étant une constante.
En considérant comme fixes les deux extrémités de la courbe, on peut ne faire varier que x, et comme la formule
donne
Sds =z -— d$x, ds
on aura
f[x' + ^''r^)dSx = i
En intégrant par parties, et faisant $x = o aux deux limites, on a
hxdlx^'h2ax-£\ = 0;
d'où l'on conclut
dx ^
Chacune des constantes a et C pouvant être positive ou
négative, on peut écrire
, dx , ,^
y^±iax— ± 6* = o,
336 couKS d'analyse.
et de là résulte
(2) dxz=L— —
C'est Téquation différentielle de la courbe cherchée 5 le radical doit être tantôt positif, tantôt négatif 5 il change de signe quand y devient un maximum ou un minimum. Si la constante h est nulle, on a un cercle ou l'axe des x. Si h n'est pas nulle, l'équation différentielle (2) appartient à la courbe décrite par l'un des foyers d'une ellipse ou d*une hyperbole qui roule sans glisser sur l'axe des a:, comme l'a démontré M. Delaunay, dans le Journal de Mathématiques àe M. Liouville (*).
EXERCICES
\ . Déterminer, parmi toutes les lignes d'une longueur donnée, et terminées à deux points fixes k^ B, celle pour laquelle la somme des produits de chaque élément ds par le carré de sa distancera la droite AB est un maximum.
Solution : On prend AB pour axe des j?. La question se ramène à l'intégration de Téquation
2. La ligne minimum sur une surface développable se trouve par des quadratures.
(*) Voir X. Vï, p. 309, et une Note de M. Sturm, p. 3i5.
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