n Dans ce cas> l'expression du reste est

m{m-^\). . Am-^n) i

^'' -^ 1.2. ..(«-i-i) (i + ôy donc (Lemme H) IimR*'= o.

7. Il est évident que la série (C) cesse d'être convergente à partir de iw = I, et que la série

m /«(/w + i)/w(/îî-Hi) fm-f-2)

est divergente pour toutes les valeurs positives de m. Les cas dont nous nous sommes occupé sont donc les seuls qui présentent quelque intérêt.

(**) Cours d"* Analyse, i, l, p. lao.

34^ couBs d'analyse.

sua LES FONCTIONS ELLIPTIQUES {*), par M. Despetrous.

L*intégrale sous forme algébrique de l'équation dx fir

yi — jc' yi—j^

s'obtient aisément, comme on sait (**), au moyen d*une intégration par parties. En mettant celte équation sous la formé

dx^ i—jr^ -\' dyyj \ — x^ = o, on en déduit

/ dx \li—y^-\- I dy v/i — o;^ = const.

Or, en intégrant par parties, on a

( * ) Pour l'intelligence de cette Note, il est nécessaire de savoir que Ton donne le nom d^intégrales elliptiques aux intégrales suivantes, dont la seconde représente la longueur d'un arc d'ellipse :

i^^ espèce, I ^ — <

Jo yi — c>sin*y>

2® espèce, j df^i — c" sin- f> ,

3« espèce. I —

Jq (H-nsin*9)y/i — c*sin*j

Si Ton pose « = sin^, l'intégrale de première espèce devient

(**) Voiry par exemple, Lacroix, Traité du Calcul différenUel et à» Calcul intégral, t. Il, p. 473.

lîOTE II. 341

et

Ajoutant et observant que les termes sous le signe / donnent une

somme nulle en vertu de Téquation différentielle proposée , on trouve riutégrale algébrique

x\/\—y^-^ysl\ — x^^ const.

La constante arbitraire qu'elle contient est la valeur de y pour x = o. Posons

dx

= a, X = sina, /i — - j:-* = cosa,

o yl\ — x'^

et de môme

'y dy

)o )/i-y Nous aurons

d'où

7 étant une constante. D'ailleurs, pour a = o, on a

^=0, p = 7, j = sin7.

La constante de notre Intégrale est donc sîn7. Par suite il vient

sin7 ou sin (a + P) = sina cosp + sinf cosa.

C'est la formule fondamentale de la théorie des fonctions circulaires.

Le même procédé s'applique facilement à la recherche de l'intégrale d'Euler, qui donne la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques.

Soit, en effet,

dx dy

En multipliant par le produit des dénominateurs et divisant par I — àx^y^^ on a

I \ \i^ dx-\' \ ^ a 3 2 ^ = const.

34a COURS d'analyse.

Or, en intégrant le premier terme par parties, on obtient

I — c^js^x' (i4- c') (i+ c'j^V) — ic^x^— 'xc^f dy

En échangeant entre elles les deux lettres x et y^ on aura le second

terme; ajoutant donc et observant que les termes sous le signe /

donnent une somme nulle en vertu de Féquation différentielle proposée, on trouvera

La constante du second membre est la valeur de y pour ar = o. Posons

/"^ dx

Jo /i — X* v/i — c*^* x = S(a), v/r=^» = C(a), v^i - c»a:^ = R(a), et de même

Nous aurons d'où

y étant une constante. D'ailleurs, pour a = o, on a

La constante de notre intégrale est donc 8(7). Par suite, il vient

S (7) OU S (« + p) ,^s(«)'STP?

("*) Dans cette intégrale, la variable x doit être prise toujours moindre que I. Si Ton fait x = stnç), alors Tangle <f est appelé V amplitude de Tintégrale a. Jacobi le désigne par ama et pose x=: sinama.

IfOTE III. 343

Cest la formule fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques. Elle donne S(a — P) en changeant le signe «de S(P). On peut aussi en déduire C (a ±: P) et R (a=i= P).

ANALO6IB DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES À GOEFnCIENTS VARIABLES , AYEC LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES 9

par M. E. Brassim^ib.

I* Considérons Féquation différentielle linéaire à coefficients variables :

(I) X„ = g + p£a+Q£S+...+ T£+Ur^o.

De l'intégrale de cette équation on déduit par les quadratures celle de X^ = /(ar); aussi, dans tout ce qui siïit, nous supprimerons le terme fonction de la seule variable x.

L'intégrale complète de X^ = o est la somme de m intégrales particulières distinctes, que nous appellerons les solutions de cette équation. Une intégrale /= c^[x) est distincte, si ^p(:r) ne peut être décomposée, par addition ou soustraction, en d^autres fonctions de or, qui égalées à y puissent satisfaire à X^ = o.

Cela posé, rappelons que Lagrange, dans son Mémoire intitulé : Solutions de différents problèmes de calcul intégral, a démontré que, si Ton connaît p solutions c,^,, c^y^,. . . , c^ j^^ de X„ = o, on complète son intégration en effectuant celle d'une équation linéaire d'ordre m—p, M. Libri, en i836, a donné de l'extension à ce théorème en démontrant que, si une équation linéaire X, = o (l'indice p désigne l'ordre), non intégrée, est telle néanmoins, que ses solutions inconnues satisfont à X^ = o, l'intégration de cette dernière dépend de celle de l'équation d'ordre p et d'une autre équation d'ordre m — /?. Il est à remarquer que si l'intégration de X^ = o est nécessaire pour savoir si les solutions de cette équation appartiennent à X„ = o, ce théorème rentre dans celui de Lagrange.

Mais on peut établir un théorème général comprenant ceux de Lagrange et de M. Libri, dont voici l'énoncé : Si des équations différentielles linéaires, d'ordres m, w', /w", . . . , ont p solutions cornmunes, on trouve, par un procédé analogue à la recherche du corn-

344 COUES D^ ANALYSE.

mun diviseur algéhriquey Péquation X^ = o qiii donne ces solutions, et l'intégration de» proposées est ramenée à celle cfe X^ = o e/ à celle d'autres équations d'ordre m — p^wl—p^m* — p,

2" Si dans Téquation linéaire X = o d'ordre quelconque on pose j= pîT, on trouve une transformée dont la loi est donnée (46* Leçon, n° 389) ; nous récrivons ainsi :

Les fonctions 'X, 'X, . . . , d'ordres m--i,»i — a,...,8e forment comme les dérivées du polynôme

l ce polynôme est la fonction X dans laquelle on a fait ^ = z j 1

par rapport à z, en remplaçant ensuite z par -^ et z* par^. D'après

cette loi, il est clair que si dans 'X, "X, . . . , on remplace p parpw, on aura des transformées

'X«+''X^+... ou ''X« + '^X-^+...

ax ax

pareilles à (a). Nous appellerons 'X, "X, "^X... les conjuguées premières, secondes, troisièmes... de X. La relation (a) nous servira à démontrer les théorèmes suivants :

Théorème de Lagrange. — Si Ton connaît/? solutions, c,^,, Cj/,..., CpXp^^ X = o d'ordre m, son intégration sera ramenée à celle d'une équation d'ordre m — p.

En effet, supposons / = /, a : il suffit de faire dans la transformée [i)u=x^\ puisque^, est une solution, son premier terme sera annulé, et 'X, "X, . . . , deviendront des fonctions connues de x. Il restera donc une équation en u d'ordre 772 qui s'abaissera à l'ordre

772 —. I en posant ^ = u'. Or, puisque ^ = jr, a, les valeurs de u

correspondantes à 7 = j, = ^, = . . . = ^^ sont

et celles de a' = •:7- sont dx

On connaît donc /? — i valeurs de k' qui satisfont à une équation linéaire d'ordre m — i ,

Cette équation, par une transformation pareille à la précédente, pourra être abaissée à Tordre /w — 2, et par une suite d'opérations semblables on arrivera à une équation d'ordre m —p.

Nous avons rappelé ce- mode de démonstration, dû à d'Alembert, parce que son application à l'équation X=/(x] conduit, lorsqu'on connaît les m intégrales particulières c,^,, c^j,, . . . , r^/^deX = o, à l'expression de la valeur de y au moyen d'une intégrale multiple, qui pe\it être remplacée par la somme de m intégrales simples, ne différant les unes des autres que par les indices des lettres ; on trouve pour la valeur de y :

o)^-2:--^-+2>- r -^^fti

La sommation s'étend aux indices « = i, a, 3, . . . , /w, et le dénominateur sous le signe d'intégration est le produit de m facteurs; chacun de ces facteurs, à partir du premier, est la dérivée, par rapport à or, d'une fraction dont le dénominateur est le facteur précédent , et le numérateur ce même facteur dans lequel le plus fort indice de j est augmenté d'une unité. Après la formation complète du dénominateur, on diminuera de m les indices qui dépassent m.

Second théorème, — Reprenons la transformée

(2) X« + 'xg+... = o,

qu'on déduit de X = o en posant x = vu. Si x^ mis à la place de v rend nulles p fonctions, X, 'X,..., t''"')X, l'équation X = o aura /? solutions de la forme Xv ^Xv ^^X\ ' • • • » ^''ft (nous supprimons les constantes pour plus de simplicité dans l'écriture). En effet, dans notre hypothèse, (2) devient

Or, cette équation a pour solutions

u = 1 =x = a?, . . = x''\ Donc, puisque^ = jri«, on aura p valeurs de jr, savoir : ^„ar>'„...,

346 couBs d'analyse.

^'^Xx' Nous appellerons les intégrales particulières de cette forme des solutions conjuguées; xy^ est conjuguée de j, et a:"'*"^, de a:"/,.

En second lieu, si X = o a ;? solutions conjuguées ^'„ «^çr,, • . . , J^'^Xx^ chaque fonction 'X, *X, '"X, . . . , aura les solutions conjuguées de celle qui la précède dans le développement (t:^), à l'exception de la solution pour laquelle le facteur jr a le plus fort exposant.

Si, en effet, on suppose dans la relation (^)u = x eiv égal successivement à j,, JT",,..., 3^'^ y XI ^8ns toutes ces hypothèses la transformée se réduira à 'X = o, puisque les valeurs de p sont des solutions de X = o. Ainsi 'X = o a pour solutions J», -aTi» • • • » «'"y,. En faisant la transformée de 'X, on trouvera de même que /•,, 0:7-, .... , x^^^y^ sont solutions de "X = o, et ainsi de suite.

Ce théorème comprend celui que d'Alembert démontre dans le cas des équations différentielles à coefficients constants, lorsque réquatîon algébrique de laquelle dépend la solution a des racines égales (46' Leçon, n° 590).

Corollaire, — Si toutes lés solutions de 'X = o sont j^,, xy^, , . . . , af^^y^ , X = o aura les mômes solutions et, de plus, la solution j:*-'/^ car on peut toujours concevoir une équation X„ = o d'ordre m qui ait toutes les solutions ci-dessus ; or, en formant la conjuguée de X^ = o, savoir 'X„ = o, cette dernière aura iw — i solutions, /„ ar^p . . . , ^"V, : elle sera donc identique à 'X; donc aussi X^ sera identique à X.

Troisième théorème, — Si dans la transformée (2) de X = o on fait v=x^ et w= ^*'î Ji étant une solution de X = o, et a une quantité très-petite, cette transformée deviendra

Xae«^ -f" X -^ ^*' 4- "^ ■

En changeant a en — a, on aura le résultat de la substitution de yz=zy^e'^'^^. Si, à cause de la petitesse de a, nous négligeons les termes dans lesquels cette quantité est élevée à des puissances supérieures à la première, on voit que f^ = ^I/^ (a:) étant une solution de réquation X = o, les substitutions

donnent des résultats de signes contraires quel que soit x\ ces deux relations pourraient être représentées par des courbes très-rapprochées comprenant la courbe jr= ^i(-p).

Mais si x='h^[x) annulait X et un nombre impair de fonctions 'X, 'X, . . . , les résultats de la substitution seraient de même

JIOTB III. 347

En second lieu si l'on donne les équations de deux courbes trèsrapprochées, telles, que l'ordonnée de l'une d'elles soit toujours moindre que l'ordonnée de l'autre, et si la substitution des valeurs de ces ordonnées en fonction de x^ dans X =. o, conduit à des résultats de signes contraires, il existe entre les courbes données une ^courbe dont l'ordonnée représente une solution de X = 0. En effet, les équations des deux courbes très-rapprochées peuvent être mises sous les formes

(p(a:) et ^y\x) étant des fonctions constamment positives; or, la substitution de ces valeurs dans X = o ne pourra fournir des résultats de signes contraires que si le premier terme de la transformée,

savoir X^"^^*^ ou X^~'*^»^^\ est identiquement nul, puisque ce terme est incomparablement plus grand que ceux qui ont a pour

facteur. Donc j = c^^*^ doit être une solution de la proposée.