X... = M^(XJ+N(X

K, L, . . . , M sont des fonctions de x déterminées de telle sorte, que les termes de Tordre le plus élevé soient les mômes au premier et au second membre; les restes, comme l'indiquent les égalités, s'obtiennent par de simples soustractions. Or, il est évident qu'une solution j, qui rend identiquement nulles X^^^ et X^ et, par suite, les dérivées de ces fonctions, annule aussi les restes X^^^^,, X«+F-i> • • ' » ®* réciproquement une valeur de x qui annule un reste et X„ satisfait aussi à la proposée X^^ = o. Nous avons supposé que notre dernier reste a la forme NX^,N étant une fonction de x; dans ce cas, toutes les solutions deX„ = o appartiennent à X„^^ = o, et rélimination des restes successifs conduit au développement

(4) X^,= g(XJ+K.^(X.)-H...+M.^(X„)+NX.=o.

343 COURS D^ANÀLTSE.

Sous celte forme, et en prenant X„ pour l'inconnue, il suffit pour sa détermination d'intégrer une équation d'ordre;?, et on trouve ainsi

intégrant ensuite X„=: o et faisant usage de la formule (4)» on a l'intégrale complète de X^^^ = o.

Si la dernière égalité du groupe (À) est

on fera

en déterminant P de telle sorte, que le terme d'ordre /Ttsoit le même au premier et au second membre. Par ce moyen, on posera la suite d'égalités

(B) { X„=0^(X„,) + QX„,,+X„.„

Si Ton parvient à une égalité qui présente au second membre deux fonctions égales X^, on arrêtera l'opération, et par l'élimination des restes successifs des groupes (A), (B), on développera X^ et X„^, sous forme d'équations linéaires d'ordre m — A, m-hp — Â-, qui auront X^ pour inconnue. Si la suite d'égalités conduit à un reste X*<f{x) qui ne peut être annulé par une valeur de^ exprimée en or, on conclura que les équations différentielles n'ont pas de solutions communes.

De ce qui précède, il résulte, qu'il est toujours aisé de trouver la fonction qui, égalée à zéro, donne des soliUions communes à des équations linéaires, et si cette fonction est d'ordre /*, on pourra abaisser de /* unités les ordres des équations linéaires,