COMPOSITION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

On veut former une équation différentielle qui réunisse les solutions de deux équations données X^ = o, X^ = o. Désignons par X„^ le premier membre inconnu de l'équation cherchée, nous pourrons le développer sous les deux formes

X„.p= ^(XJ + K^(XJ+...+0(X.), X„., = ^ (X,) + K'^ (X,) +. . .+ S'(X,).

KiOTE III. 349

EfTectuant les différentiations indiquées aux seconds membres, et identifiant les coefficients des différentielles de même ordre dans les deux développements, on aura m-^ p relations du premier degré au moyen desquelles on déterminera les coefficients K,..., Q, K',..., S'. Si les deux fonctions X„, X^ sont égales, la méthode n^est pas applicable, parce qu'il est contraire au caractère de généralité de rintégrale complète que deux solutions soient égales; mais pour suivre Tanalogie de l'Algèbre et du Calcul intégral, en ce qui concerne les racines égales, on formera des équations de même ordre qui auront les solutions de X^ = o, multipliées par x ou par a:%

x',. . .; il suffira pour cela de remplacer j par - , :^^. . - • On composera ensuite en une seule toutes ces équations de même ordre, et on aura un résultat analogue à la puissance entière d*un polynôme.

Dans le cas où X^= o a /? solutions r,, JK^,. . ., ^j,, de plus a 7 solutions z„ a:z„..., 2^, xz^ et 3r solutions «,, xu^^, j?^w„..., w^, xu^, x'«^, de sorte que m= p+iq-\-Zr, Tintégration se ramènera à celle de trois équations d'ordre p^ 7, r.

Si d'abord on cherche les solutions communes à X„ = o et 'X,„ = o, on trouve une équation X^.^^^ = o qui a pour solutions «, , Zj,. . ., 3^, w„ xttj,. . ., tt^, xu^. Les solutions communes à 'X^ = o et ''X^= o, savoir : a,, «„..., a^, sont fournies par une équation X^ = o ; celle-ci permettra de former X^^. dont les solutions seront «,, xMj,, . ., u^^ xu^. Cherchant ensuite les solutions communes à ^q+ir = O et Xj^ = O, on parvient à X^ = o qni a pour solutions z„ 3j, . . . , z^. Il est facile de former sans intégration la fonction ^27+3r = o satisfaite par toutes les solutions conjugées doubles ou triples. Avec cette équation, on abaisse X,„= ou ^p+2q+ir= ^ à l'ordre /?.

Les méthodes précédentes fournissent un moyen aisé de trouver les conditions qui doivent exister entre les coefficients de deux équations différentielles, pour qu'elles aient p solutions communes; il suffit d'appliquer la méthode, et d'exprimer que le reste d'ordre p est identiquement nul.

Enfin, on peut ramener à cette théorie des méthodes connues, celle par exemple que d'Alembert a imaginée pour l'intégration des équations différentielles, et qu'il reproduit dans ses principaux ouvrages. Théorie des vents. Théorie delà Lune^ etc.

Prenons pour exemple de cette application l'équation du quatrième ordre

35o COURS d'analyse.

Supposons une fonction

qu'on veut déterminer de sorte que ses trois solutions appartiennent à X^ = o; nous poserons

De cette dernière on déduit, en identifiant les deux membres,

Avec ces relations, auxquelles d'Alembert parvient, on élimine ^, 0', 9", et on arrive à une équation en qu*il faut intégrer pour trouver ensuite les autres coefficients. Cette détermination conduit

à quatre expressions de X3, et comme d'ailleurs ^ (X^) 4- XX^ = o

donne X3 = C^"-^"', en portant dans cette dernière les systèmes

de valeurs de A*, 9, 9', 9" on obtient quatre relations au moyen des-

dr d^Y d^Y quelles on trouve la valeur dejr après avoir éliminé -j- > -7-7 ? -j^^

Si les coefficients de X^ = o sont constants, ceux de X3 = o le seront aussi, et, dans ce cas, la valeur de 9 dépendra de la résolution de l'équation

(9 — «)* -f- « (9 - ûf -h ^ (9 — «)= + c (9 — fl) -h e = o.

COMPOSITION DE l'ÉQUATION LINEAIRE AU MOYEN DE SES SOLUTIONS.

4° La composition de X„ = o, au moyen de ses intégrales particulières, résulte de Télimination des constantes c^ «^j, . . . , c„ entre les équations (46' Leçon, n° 579) :

dx '"'dx^'^^dx^"'^'''- dx'

flmy. ^my flnxy ^nty rL =: c • * -I- c ^ -4- -4- /?

dxf" • dx"' ' dx'" ^•••^''"« daf*

NOTE m. 35 X

Or, SI l'on écrit le groupe suivant :

on aura, au moyen des m dernières équations, les valeurs de c„ ^2î« • •> ^OT qu'on portera dans la première, et le résultat sera de la forme c^, A = L, A étant le déterminant oti dénominateur relatif aux m 4-1 in'connues c^, <r,,.... Si l'on fait c^ = —i et X = o, V = o,..., la relation précédente se réduit à A = o, laquelle ne peut être que l'équation différentielle X,„ = o. Or, d'après la formation connue du déterminant A, on peut écrire

tV^Y d^~^Y

D est le dénominateur des m inconnues c^ r,,..., c^ déterminées au moyen des m premières relations du groupe (E), et si l'on considère les indices de la différentiation comme des accents, on passe

d"^Y du premier terme -t-~ D au suivant en changeant les signes, m en

m — I et /7t — I en 771. Comme D contient les indices iti — i qui deviennent m pour la formation de D„ et comme d'ailleurs, en ajoutant un accent ou une unité à chaque facteur de D de même indice, celte fonction s'annule, il est clair que D, est la dérivée complète de D et, par suite, si D est constant, D^ = o (observation due à M. Liouville).

En second lieu, si nous mettons la valeur de/ sous la forme

on pourra déterminer les constantes en supposant que pour ar„, y^

dr d^r d^'dy

les coefficients différentiels -f^y -~j • • • » ;^" ont des valeurs

assignées ; dans cette hypothèse, on trouvera les valeurs des constantes au moyen des m dernières équations du groupe (C), et en désignant le dénominateur commun par D et les numérateurs par N„N„...,N^, onaura

Si ar„, Xu 6t les dérivées de jr„ par rapport à x satisfont à la re-

352 COURS D^AIVALTSE.

laUon jr=z^^(x), ces valeurs dans Texpression de jr devront rendre — égal à Tunité, et Nj, N3,..., N„ égaux à zéro. Mais x„ Xu ^^ ^^ dérivées pourraient satisfaire à une des relations X = '^i{^)} X='h{^)y"'i et on en déduirait des conséquences semblables. On peut conclure de cela que le numérateur N^, égalé à zéro, est une équation linéaire d'ordre m satisfaite par toutes les intégrales particulières de X„ = o à Texception de j^ = >|'^(a;).