DEUXIÈME KÉTHODE DE COMPOSITION

5*^ Analogie d*une équation linéaire avec la puissance d^un binôme.

X„ = 0, X^.| = sont des équations différentielles, telles, que toutes les solutions de la seconde satisfont à la première, si Ton pose

et si l'on détermine /, z de telle sorte que les deux termes du plus fort indice, au premier membre et dans la première partie du second, soient identiques, R devra être identiquement nul. Sans cela réquation linéaire R = o, de Tordre m — 2, aurait m — i intégrales distinctes, ce qui est impossible.

Composons par ce procédé une équation d'ordre /w, qui réunisse toutes les solutions des équations :

On formera d'abord une équation du second or Jre

d*où on déduira

Xz = I ou k— -:

z sera déterminé par la condition que le second membre soit annulé par les valeurs

On exprimera cette condition en égalant ^ ( ^ •+" "J] à une constante, à l'unité par exemple, et on trouvera

3Î0TE iir. 353

Remarquons que j est le facteur qui rend le premier membre X,

une difTérentielle exacte. La fonction du troisième ordre X, résulterait de la relation

qui devrait être satisfaite ou réduite à zéro par les valeurs

Si les solutions de X^ = o sont^-j, j^-,, x*^,,..., a^'-^y^, en sup-

posant que j, satisfait à ^ -h «r = o, le premier membre X„ se

développera ainsi qu'il suit :

. /w{/îî — lU/Ti — ï) / . . da . d^a\d'"'^Y

Les coefficients numériques de cette expression sont ceux de la puissance m du binôme; les fonctions de^r se forment ainsi : à partir du second terme, on obtient la fonction de a relative à un terme quelconque, en multipliant par a la fonction de a du terme précédent et ajoutant à ce produit la dérivée de cette fonction.

Pour démontrer cette formule, nous la supposerons vraie pour l'ordre /??, c'est-à-dire que nous admettrons que le développement précédent égalé à zéro est une équation dont les solutions sont j^ ^i^ x*^p..., Jc^^^Xt' Écrivons, d'après la même loi, le développement pour l'ordre /w-f-i que nous représenterons par X^^,; or, on verra tout de suite que la conjugée première de celte fonction sera 'X„^^ = (m + i)X„; par conséquent X'^^, = o aura les mêmes solutions queX^= o, et cela prouvera que X,„^, aura aussi les mêmes solutions, et de plus la solution a^x^.

Cette seconde méthode de composition a l'avantage de s'appliquer à des équations non linéaires, et de conduire sans aucune difficulté à la théorie des solutions singulières^ et à la démonstration de diverses questions de calcul intégral traitées par Jacobi. Les exemples suivants en montreront l'usage.

Considérons une équation linéaire ou non linéaire d'ordre m, X^= o, et supposons que X,^, = o soit une équation d'ordre /w — i , telle, que toute valeur de x ^^ fonction de x qui satisfait à la der- Sturh.— ^/i., II. 23

354 couEs u'anjlltse.

nière satisfait aussi à la première : nous pourrons poser ridentité

dans laquelle M est déterminé de telle sorte que les termes d*ordre m soient identiques, au premier et au second membre. La forme de ridentité résulte de ce que les fonctions qui annulent X„ et X„, doivent aussi annuler le reste ; nous la mettrons donc sous cette deuxième forme

qui s'accordera avec la première si d*où l'on déduit

if3 = M et ^^=N,

.^eJ *" et k=Vie ^ '" .

T sera le facteur qui rendra le premier membre X„ une différentielle exacte. Mais, sans nous arrêter à des généralités qui nous feraient retrouver les résultats que Lagrange démontre dans le calcul des fonctions (i 3' Leçon et suiv.), appliquons ce qui précède à i-équation diiïérentielle du second ordre

Cette équation, dans tous les cas où i f[x)dx sera exprimable en fonction de x, se mettra sous la forme plus simple

n suffira pour cela de remplacer x par f^ Si Ton connaît une intégrale première

de la dernière équation du second ordre, a étant la constante arbiiraktd d'une première intégration, on pourra déduire de cette inté-

grale -~ = u, << étant une fonction de Xy 7, a. Mais, d'après ce que

NOTE HZ. 355

nous avons expliqué, nous poserons

Identifiant, on trouve

du du dy , . du , du , .

Les deux premières sont satisfaites en faisant A^ = i, z = i; mais la dernière ne pourra avoir lieu que dans le cas où le premier membre sera indépendant de a, qui n'est pas contenu dans <p(a:, j). Ainsi, la dérivée du premier membre par rapport à a sera nulle;

donc

,du ,du

doL . dct du du

dx dy dy da.

Considérant la dérivée par rapport à a: et celle par rapport à j, lesquelles, d'après Tégalité, sont égales et de signes contraires, on

verra que -j- est le facteur qui rend dy—udx une différentielle

exacte.

On pourra donc intégrer -j-dy — -^udx (4a' Leçon, n° 529).

Un seC'Ond exemple, pris du Mémoire que vient de publier le

géomètre suédois M. Malmsten, ne présente pas plus de difficulté.

dy Supposons qu'on connaisse une intégrale première ^ = " de

réquation du second ordre

dr dans laquelle y' = ■--' Cette équation se met sous la forme

df{x,y) d'y rfy(^..r') ., . „

Nous avons marqué d'un trait les dérivées par rapport à ^, lorsqu'on ne considère pas y* comme fonction de x. Dans cette relation, et en vertu de l'intégrale donnée, on peut remplacer y* par u et

356 COURS d'àivàlyse.

identifier ensuite le premier membre à

dx

L'identité donne

du dx

(et, par suite, z = i) ; enfin

Si on transpose le terme "^ ^^^^' ^^^ , j^ second membre ne rendx fermera plus a; par suite, le premier sera indépendant de cette constante, et sa dérivée par rapport à a sera nulle. Cette dérivée est

S d^[x,u) du\ L du daj fdu du \ du \dx dy )

df^[x^u^\ dcL da. du du J

' Hà Xdx'^'dj'^'^Ty'd'yJ

.fdf^\x^ u) du\ \ du THl) dx

De cette relation on voit clairement que, en prenant pour facteur

d(f{x, u) du __ df

l'expression -^(dx — udx) sera intégrable.

L'équation

sera traitée de la même manière; car, après l'avoir développée, el'fl devient

I d^{y,r') dy d^(y.r')

X' dy dx'^ dy Yi-^,r;-o.

Remplaçant^ ' par u et identifiant le premier membre à

'à Kl-")].

on trouve

enfin

^ = - ^^^^ S «=o; u du '

I d^ir.u) /du du\ dffix.n) u du \dx djr ) dy

devra être indépendante de a, ce qui donnera i -^ pour le facteur qui rendra intégrable la fonction du premier ordre, de telle sorte que - -^ (df — udx) sera une différentielle exacte. Les équations du troisième ordre :

Cl) ^^^=x'Hr,r'h

qui se ramènent aux formes du second ordre quand on élimine dx

dr par la relation dx = —,i ne présentent pas de difficulté.