REMARQUES SUR LES ÉQUATIONS LINEAIRES

i. Une équation linéaire X„= o a /w solutions qui peuvent être

dr les intégrales d'équations du premier ordre ~ — «^ = o. Ces équations, qu'on pourrait nommer les composants deX„= o, méritent une attention particulière. Jusqu'ici on s'est appliqué à éviter dans l'intégrale les fondions imaginaires par une détermination convenable des constantes. Cependant, il est utile, dans certains cas, de les conserver, si on a en vue la simplicité analytique. Ainsi, les solu-

tiens en exponentielles de l'équation -j— -\-jr = o fournissent des

composants à coefficients constants

358 COD1LS D^NALYSE.

Les solutions réelles G sinx, G cosor conduisent à des composants

djr , ^ dr ,

^-f tango:/ = o, ^ - cotx/ = o,

à coefiQcients variables et, par suite, moins simples,

2. L'intégrale complète de X,„ = o est la somme de m solutions de la forme

Il sera quelquefois possible de discuter la courbe qui représente une solution, sans intégrer l'équation; cela paraît plus général et plus simple que de discuter l'intégrale complète avec ses constantes déterminées par des conditions particulières. Ainsi, comme on peut toujours faire disparaître le second terme d'une équation linéaire, l'équation du second ordre se ramènera à la forme

de laquelle on déduit, en multipliant par dy^

^^-.iJf(x)ydjr=o,

Dans le cas où f(a:) = A', A étant une constante, la relation se met sous la forme

Or, il n'est pas difficile de prouver que si sjf{x) reste comprise entre deux valeurs constantes A', A'', depuis x' jusqu'à X ', les intégrales particulières de Féquation

dépendront de deux équations du premier ordre de la forme

telles, que <p(a:) sera comprise entre A' et A".

3. Enfin, les solutions d'une équation linéaire pouvant être considérées comme les intégrales d'équations de la forme

en posant

dr ydx '

on peut concevoir une équation algébrique

dont les racines, ou valeurs de v^ conduiront à la valeur de y. Si on donne l'équation algébrique

c^»-!- «,;»-• 4-. . .4- a^^ p H- fl„4-. , . = o,

dont les coefficients sont des fonctions de x, de cette équation on

déduira p™ et les dérivées -r- > -r-i j • • • en fonction de x et des

ax CUXr

puissances de v inférieures à m. Si donc on veut former une équation différentielle

j;:^;7, -r ^ jj^^srr +. . .4- ^„, ^ + ^„ = o,

telle, que ses m solutions particulières fournissent des valeurs de — ^ égales aux valeurs de p, on posera

et, différentiant plusieurs fois de suite cette relation, on exprimera /,„ ? — -T-~iV) en fonction de a: et des /w — i premières puissances de p. Cette équation du degré m — i devra être identiquement nulle pour qu'elle ne soit pas en contradiction avec l'équation donnée en p du degré m. On aura ainsi des relations qui détermineront 6,, ^3, . . . , h^. Le calcul est élégant lorsqu'on transforme l'équation p"'— A"* = o, A étant fonction de x, eu une équation di£férentielle. Si iti = 3, cette équation est

d'y .^d-r r^Vi^\f^:«A«r-o S^""^A 5?""Vï" A.'» /rfx ^^-*^'

On pourrait aussi se proposer de transformer une équation différentielle linéaire en une équation algébrique dont les racines représenteraient les valeurs de -^7 mais ce problème inverse dépendrait d'intégrations souvent impossibles.

36o COURS d'analyse.

SUR LES PROPRIÉTÉS DE QUELQUES FONCTIONS ET SUR LÀ REPRÉSENTATION DES RACINES DES ÉQUATIONS PAR DES INTERSECTIONS DE COURRES,

par M. E. Pbocbbt.

Définitions préliminaires. — Relations entre les dérivées partielles des fonctions P et Q. — Séparation des quantités réelles et des imaginaires dans les dérivées de/(«). — Différences finies et différentielles totales des fonctions P et Q. — Propriétés des courbes P, Q, P + Q, P— Q* — Démonstration d'un théorème de Gauchy. — Asymptotes des courbes P, Q, etc. — Théorème sur le nombre des racines des équations algébriques. — Propriétés des surfaces « = P, « =: Q. — Remarques.