DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES

i. Si f{z) est une fonction qui prenne la forme P + Q /— i quand on pose z = ar-j-/ v^— i, P et Q étant des fonctions réelles en .r et j, Téquation

entraînera les suivantes

et réciproquement. Il suit de là que si x et jr sont les coordonnées d'un point variable, la partie réelle et le coefficient de v/— i d'une racine de l'équation (i) seront respectivement égaux aux valeurs numériques de l'abscisse et de l'ordonnée d'un point commun aux deux courbes données par les équations P = o, Q = o.

Les points d'intersection de ces deux courbes peuvent donc être regardés comme formant une représentation géométrique des racines de l'équation /( 2 ) = o, et c'est pour rappeler cette propriété que nous les nommerons des points-racines,

2. On dit en général qu'une équation /(z) = o a /z racines égales à a lorsqu'on a /(a) = (« — «)" f(25), f(z) désignant une fonction qui ne devient ni nulle ni infinie pour z= a; or, comme la fonction f (z) = 7 ^}^ \n prend la forme - pour z = «, si l'on cherche

NOTE ly. 36i

sa véritable valeur d'après les règles connues, on voit que, pour qu'elle ne soit ni nulle ni infinie, on doit avoir

Toutes les fois que Téquation f(z) aura n racines égales, le pointracine correspondant sera pour nous l'équivalent de n points-racines qui coïncideraient, et nous le nommerons, dans ce cas, point-racine de r ordre n,