Relations entre les dérivées partielles du premier ordre
Si Ton suppose que z tienne la place de x H-^v^— i dans Tidentité
/(z) = P + Qv/37,
et que Ton prenne les dérivées des deux membres, d'après la règle des fonctions de fonctions, on aura
OQ
On obtient ainsi deux expressions différentes de/'(z), et en exprimant qu'elles sont identiques on aura les relations
\ dx~~ dr^ ^ ' » dV dQ
dy dx
4. RÉCIPROQUEMENT, si Ics relations ( 2) ont lieu entre les dérivées de deux fonctions
p ^/ sont la partie réelle et le coefficient de /— 1 d^une fonction d'une seule variable z, dans laquelle on aurait substitué x-{-jr ^—1 àz.
En effet, posons
W = P-fQv/-i;
subatilttons z—y^^ à x dans cc^te expression, et prenons la
36a COURS d'analyse.
dérivée de W par rapport à/; nous aurons
dW çrPdx dV (dQ dx fiQ\ r— dx ~ dx df"^ df'^\dx df"^ dy)^ *'
et comme -r- = — v/— i, il en résulte
dx ~'\djr'^ dxJ'^Xdx dx)^
Or^ le second membre est identiquement nul d'après l'hypothèse.
dW On a donc — j— = o. Ainsi, le résultat de la substitution est indé-
pendant de j, et par conséquent W se réduit à une fonction de z, qui, par la substitution de x 4-/ v/—- 1 à z, devient P + Q v/--ï-
5. Relations entre les dérivées partielles du second ordre. Les relations (a) étant identiques, on pourra prendre les dérivées des deux membres de chacune d'elles : on obtiendra ainsi
r/»P rf^Q
rf'P rf'O
dx^ ~~ dxdy
dxdf- dx''
d^Q d'V dx' ~ dxd/
d'où résultent les relations
rf'P
d'Q dr'-
RÉCIPROQUEMENT, si l'une des relations (3) est vérifiée par une
fonction P , // sera possible de trouver une seconde fonction Q teUe^
que V etQ résultent de la substitution de x+y /— "i à la place de z
dans une certaine fonction <f [z),
CdV En effet, si Ton pose Q = / ;7-^, on aura
df-dx' dx-j dx""^^-- J df'"^^- d/
Ainsi, les relations (a) sont vérifiées par les fonctions P et Q, et par suite, il existe une fonction ^ {z) telle, que l'on a identiquement
6. Relations générales entre les dérivées partielles de P et celles deQ.
On tire des équations (2), en les différentiant ^ — i fois par rapport à X, et /i — ^ -;- 1 fois par rapport à 7,
da* df'-^ da^'' df"^' '
7. Relations entre les dérivées partielles de P ow de Q. On tire des équations (S) par la différentiation
. djc'dj'*-'' dj^-'df-''^^'
dj^dy^^ " dj^-'^df-^^^'
Ces équations expriment une propriété commune aux deux fonctions P et Q, En y faisant successivement A- = tî, /î — 2, « — 4, ... , puis /• = /z -- 1, /2 — 3, 71 — 5, . . . , on obtient :
éic» "" djf^^df^ "" daf^df "" djf-^dy'' ' '
£/"P <f"P rf"P //"P
ÉÈr"-' <// "■ daf'-^df ~~ daf'-'df'' "" dU:^'^//' ' "
djf" "" dûC^-'df^ "" daf'-'dy' "" daf^-'^df '
daf'-'dy d^'-^df da^-'^dy'' daf'-'dy'
Ainsi, /oa/tfj fej dérivées partielles de Y ou de Q d^un même ordre, dans lesquelles V indice de différentiation relatif à une même variable est en même temps pair ou impair, sont égales en valeurs absolues.
Et si Von range ces dérivées suivant un ordre de grandeur de cet indice, les signes -^ et ^ se succéderont alternativement.
SÉPARATION DES QUANTITÉS RÉELLES ET DES IMAGINAIRES DANS LES DÉRIVÉES DE /(z).
8. En différentiant par rapport à x les deux membres de l'identité /(z) = P-i- Q v/---T, nous avons trouvé
.,, . dV dQ , —
Cette formule fait voir que pour obtenir la partie réelle et le coefficient de v^^ de la dérivée d'une fonction, il suffît de prendre les dérivées par rapport à x des parties analogues de cette fonction. En prenant n fois de suite la dérivée par rapport à x, on trouve
On peut donner à cette expression deux autres formes et n'y employer que la fonction P ou la fonction Q. Il suffit d'y remplacer
d*après les relations (4). On aura ainsi
