DIFFÉRENCES HNIES ET DIFFÉRENTIELLES TOTALES DES FONCTIONS P ET Q
9. Les propriétés précédentes permettent de développer les accroissements des fonctions P et Q suivant les accroissements de leurs variables.
Si dans/(z) on change z en (z-hA:c + A^/^), on aura
En posant
^x + Aj /^ = r (cosO + \f^ sinô) ,
nous aurons , par la formule de Moivre ,
(^x -h Aj yf^Y = r" (cos/2Ô -h /^sin/ïO).
D'ailleurs la première formule (7] donne
ml , / — \ «?"P ^"P / —
donc on a
A/{z) = AP-+-AQv/=^
+R,+Ry-i,
nOTE iv. 365
et, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires,
iO. Si Ton suppose Aor et A/ infiniment petits, le terme général de chaque développement devient la différentielle totale du rf^ ordre de P ou de Q, divisée par le produit 1.2. 3.../?. On aura donc, en appelant a> la limite de Tangle d, et en observant que
dy
r = Jdx^-\-df = dryjx 4-cot'w -7^5
rf"P rf»P .
d^V = — : dr''.
PROPRiÉTés DES COURBES P ET Q. — POINTS MULTIPLES.
11. Pour abréger, nous appellerons courbe P, courbe Q, les courbes représentées par les équations P = o, Q = o. Nous supposerons que le système d*axes auquel on les rapporte est rectangulaire.
Une propriété remarquable de ces courbes est d'avoir chacune un point multiple de Tordre /i, toutes les fois que l'équation primitive /(z) = o a « racines égales entre elles. Pour le démontrer, il faut faire voir : i** que les fonctions P et Q s'annulent avec leurs dérivées partielles jusqu'à l'ordre « — i inclusivement quand on y substitue les coordonnées d'un point-racine de l'ordre n ; a° que chaque courbe possède en ce point n tangentes distinctes.
12. Premièrement, quand /(z) a n racines égales à :c4-JV^— i, on doit avoir, / désignant un nombre au plus égal à n ,
cette équation entraîne les deux suivantes :
Il résulte de là et des relations (6) que toutes les dérivées de P de Tordre / sont nulles, et comme i est compris entre o et n — i, il est donc démontré qu'en chaque point- racine de l'ordre n toutes les dérivées partielles de P s'annulent jusqu'à l'ordre /z — i inclusivement. — Môme démonstration pour la fonction Q.
i3. En second lieu, les courbes V et Q ont chacune, au point (x, ^), n tangentes distinctes.
Considérons d'abord la courbe P.
On obtiendra le coefficient angulaire -r- = tangw de la tangente
menée à la courbe par le point ( J^, ^), en égalant à o la différentielle totale du n^"" ordre. D'après la formule (9), l'équation qu'il faudra poser sera donc
^«P rf»P
— - C0S7ÎW 4- ■ „ . , smwû) ajc* cLxf-^dy
sin"w ~ ^'
Le dénominateur de cette équation n'est jamais supérieur à l'unité, et il ne peut devenir nul en même temps que le numérateur qu'autant qu'on a
Mais ce cas peut être écarté , car il suffit, pour l'éviter, de changer la direction des axes de coordonnées. Donc si Ton suppose -^-j^o» on aura toutes les solutions de cette équation en posant
(10) tang/ïw =
et si Ton fait
^"P daf"
da^'dy
tangf*= ^^
on aura
d'où
daf'-^dx
(II) « = t-|->tll.
WOTE JV, 367
Pour avoir toutes les tangentes à la courbe P, il suffit de donner à n les valeurs o, i, 2, ...,« — i, et l'on obtient n valeurs de w,
formant une progression aiithmélique dont la raison est -• Donc
la courbe P présente, au point considéré, n tangentes distinctes et tellement dispesées, que deux tangentes consécutives comprennent un angle égal à la r&^ partie de deux angles droits.
d^. 11 importe de remarquer qu'un point-racine do l'ordre n ne peut être un point d'arrêt ou un point isolé, pour aucune branche de la courbe P, du moins dans le cas où la fonction P est continue. En effet, l'équation qui donne tang o ayant toutes ses racines inégales, on voit focilement, en développant P par la série de Taylor, que cette fonction changera de signe quand on y substituera successivement les coordonnées de deux pointa suffisamment rapprochés du point N, et situés de part et d'autre d'une même tangente.
i5. Un calcul analogue à celui que nous avons fait pour la courbe P assignerait aussi à la courbe Q, en tout point-racine de l'ordre /z, n tangentes distinctes et tellement disposées, que deux tangentes
consécutives comprennent un angle égal à - • On peut déjà en conclure qu'entre deux tangentes consécutives à la courbe P il y a toujours une tangente à la courbe Q. Mais je dis de plus que :
Les tangentes à la courbe Q sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à la courbe P.
Pour le démontrer, rappelons-nous la formule
(10) tang/zw =
fi"? daf'
g/"P claf-'dx
En appelant u l'angle qu'une tangente à la courbe Q fait avec l'axe des X, nous aurons de même
(la) tang/iw =
daf^^ dy
Or, d'après les relations (4 ),
daf" "" dx"-'dx^ dx'^^dy~ axr'*
donc
tang/ztt» tang/iii = ~ i ;
368 couns d'analyse.
/ïft) — /2U= ± -) 'À
oi> — u est l'angle compris entre une tangente à la courbe P et une tangente à la courbe Q la plus voisine, et Féquation (i3) montre que cet angle, abstraction faite du signe, est la moitié de Tangle
~ compris entre deux tangentes consécutives à la courbe P.
16. Les résultats précédents comprennent le cas particulier d'un point-racine simple. En un point de cette espèce, l'angle — formé par la tangente à la courbe P et la tangente à la courbe Q se réduit à -• On peut d'ailleurs rétablir directement. Ainsi :
En un point-racine du premier ordre les courbes V et Qse coupent à angle droit»
Cette propriété appartiendrait encore aux courbes représentées par les équations
A et B étant deux constantes quelconques.
PROPBIÉTÉS DES COURBES DONNÉES PAR LES ÉQUATIONS P-Q=:0, P4-Q=o.
i7. La courbe qui a pour équation P — Q = o est le lieu de tous
les points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P etQ,
donnent des résultats égaux et de même signe. En chaque point de
P cette courbe le rapport ^ est égal à i.
La courbe qui a pour équation P + Q = o est le lieu de tous les points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P et Q,
donnent des résultats égaux et de signes contraires. Le rapport j
y est constamment égal à — i.
Les courbes P — Q,P-i-Q jouissent des mômes propriétés que les courbes P et Q, et il sufBt pour le démontrer d'observer que les fonctions
sont la partie réelle et le coefficient de y/--^ de la fonction
(i4-v/=T)/(z) = (i-h/-=T) (p + Qv/=:T) = P-Q4-(P4-Q)/=T.
D'ailleurs p etq s'annulent évidemment avec leurs dérivées jusqu'à Tordre n exclusivement, quand on y substitue les coordonnées d'un point-racine de l'ordre n ; d'où il suit que :
En un point -racine de V ordre n:
i^ La courbe V — Q a n tangentes distinctes tient chacune fait
avec celle qui la suit un angle égal à —5
a® La courbe P + Q a aussi n tangentes distinctes qtd sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à la courbe P — Q.
i8. Pour construire les tangentes à nos deux nouvelles courbes il suffit de connaître l'angle qu'une tangente à l'une d elles fait avec une tangente à la courbe P.
Soit tang/zs le coefficient angulaire d'une tangente à la courbe
P — Q : on a trouvé plus haut
daf (10) tang/i» = -ipr^'-^
dx"""^ dy
à cause de la symétrie du calcul, on aura aussi
</> djf"
tang/ic- ^„^ .
Mais
dx'^-'dx
d^p d"? d"Q d'^V fl?»P daf^~ d3^ djf" ~ daf* ^ dx^-'dx^
d^'p d^V d^Q __ rf»P rf«P.
rfx"-' dy ~~ dx"-"^ dy dx'^' dy dx"^' dy daf" '
donc
r/«P . rf"P
tang;ie- ^.^ ^„p- , ^^.^g^J " tang (^,.«-
dx''-'dy daf'
I TT 1= w — - —
Sturm. —An,^ II. 24
De là résulte que si l'on construit, comme au /i* 14, /es tangentes aux courbes P et Q, et que si l'on désigne respectivement les angles consécutifs formés par ces tangentes par les nombres
les bissectrices des angles de rang pair seront les tangentes à la courbe P + Q. Les bissectrices des angles de rang impair seront les tangentes à la courbe P — Q.
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈUE DE M. CAUGBY.
i9. Traçons autour d'un point-racine N, de Tordre /i, un cercle assez petit pour que dans son intérieur les courbes P, Q, P — Q, P + Q se confondent sensiblement avec leurs tangentes, et, par suite, ne puissent s'y couper mutuellement ailleurs qu'au point N. Un point mobile M qui parcourra la circonférence dans le sens direct de rotation, c'est-à-dire en allant desx positifs aux /positifs, devra rencontrer 1 n fois chacune des quatre courbes, et toujours dans Tordre suivant :
