P-Q, P, PH-Q, Q, P-Q, P

Concevons qu'à chaque position du point mobile on substitue ses

coordonnées dans le rapport tt- De la courbe P— Q, où ^^ est posi-

tiC (17), le point M passe sur la courbe P, où ^ s'annule, et de là immé-

dialement sur la courbe P 4- Q, où ^ est négatif. Donc chaque fois

que le point M traverse la courbe P, le rapport ^ passe du positif

au négatif. Ce rapport passe, au contraire, du négatif au positif chaque fois que le point M traverse la courbe Q.

Donc lorsque le point mobile sera revenu à sa position initiale après avoir rencontré a/z fois la courbe P et a/i fois la courbe Q, le

p rapport -^ aura passé 2/2 fois du positif au négatif en s*évanouissant,

et 2/z fois du négatif au positif en devenant infini.

Si au lieu d'un cercle ou d'un contour convexe on trace une courbe fermée très-petite, qui présente des sinuosités, le point mobile pourra traverser plusieurs fois chaque portion de la courbe P, mais il devra la traverser une fois de plus dans le sens direct que danr le sens rétrograde, puisqu'il doit revenir à sa position initiale. Donc,

pour chaque portion de la courbe P, le rapport ^ passera une fois

de plus du positif au négatif que du négatif au positif, et quand ie point mobile sera revenu au point do départ, ce rapport aura passé en s'évanouissant 2/1 fois de plus du positif au négatif que du négatif au positif. Au contraire, ce rapport aura passé en devenant infini 2/2 fois de plus du négatif au positif que du positif au uégatii'.

Ainsi se trouve démontré, pour un cas particulier, un ihéorèmc iremarquable dû à M. Cauchy, et dont voici Ténoncé :

Le nombre des points- racines situés dans r intérieur d* un contour fermé j en supposant qu*ii ne s'en trouve aucun sur ce contour même^ est égal à la demi-différence entre le nombre des variations (*)

P descendantes et celui des variations ascendantes du rapport j;. > pour

toute rétendue du contour supposé parcouru dans le sens direct de rotation.

20. Du cas particulier que nous venons d'examiner, on s'élève au cas général par les considérations suivantes, empruntées à un Mémoire de MM. Sturm et Liouvilie (Journal de Mathématiques ^ t. I, p. 278) :

« Soit A re&cès du nombre des variations descendantes sur le

p nombre des variations ascendantes du rapport -^ j pour un contour qui

renferme f* racines. D faut démontrer que Ton a fx= - A. Or,

9 i^ Le théorème est évident pour un contour quelconque ABC^, lorsque dans Fintérieur de ce contour et sur le contour même on n'a jamais P = o ; alors, en effet, les deux nombres fx et A sont tous les

deux nuls, et par suite Téquation fz = - A est satisfaite.

B Elle est satisfaite encore lorsque dans l'intérieur du contour ABC, et sur ce contour même, on n'a jamais Q = o; le nombre /x est alors encore égal à zéro, et je vais prouver que l'on a aussi A = o. En

p effet la fraction ^^ quand on aura fait un tour entier pour revenir

au point de départ A, devra se retrouver en ce point affectée du même signe que d'abord elle possédait, quand le mouvement a commencé : donc cette fraction doit changer de signe un nombre pair

(*) J'appelle yariation ascendante le changement de signe d'une quantité qui passe du négatif au positif tn B^évanouissant. Une variation descendante est le contraire.

3y% COURS D*ÀMALYSE.

de fois, toujours en s'évanouissant, puisque son numérateur seul peut devenir nul, et en passant alternativement du positif au négatif et du négatif au positif : donc enfin l*excès A du nombre de fois où elle va du 4- au —- sur le nombre de fois où elle va du — au -fen s'évanouissant, est égal à zéro; ce qu'il fallait prouver.

» 2"* Quand le théorème de M. Cauchy a lieu pour deux contours A6CA, ÂCDÂ qui ont une partie commune AC^ il a lieu également pour le contour total ABGDA formé par leur réunion. En effet,

Texcès A du nombre de fois où ^ s'évanouissant passe du 4- au —

sur le nombre de fois où cette fraction en s'évanouissant passe du — au + est le même, soit qu'on parcoure le contour total ABCDA, soit qu'on parcoure successivement les deux contours ABCA, ACDA, puisqu'à chaque passage du + au — ou du — au +i qui a lieu quand on va sur le côté AC de C en A, répond un passage inverse du — au 4- ou du 4- au —, quand on va sur le même côté de A enC. Or, en supposant que le nombre des racines soit égal à i».' dans le contour ABCA, et à fz" dans le contour ACDA, on a A = ap' pour le premier de ces contours, et A = 2 [a" pour le second, puisque le théorème de M. Cauchy est supposé applicable à l'un et à l'autre, d'après ce qu'on vient de voir : il résulte de là que, pour le contour total ABCDA, on a A = a ( p' 4- p' ) ; donc le théorème de M. Cauchy est vrai pour le contour ABCDA qui renferme f^'4-f^' racines.

» Si l'on considère un nombre quelconque de contours juxtaposés, pour chacun desquels ce théorème ait lieu, il aura lieu également pour le contour total formé par la réunion de ces contours: c'est ce qu'on verra en réunissant ces contours successivement deux à deux, comme on peut le faire d'après ce qui vient d'être démontré.

» 3"* Étant donné un contour quelconque ABC, on peut toujours le concevoir divisé : I. En contours convexes tracés autour de chaque racine contenue dans Tintérieur de ABC, assujettis aux conditions énoncées n° i9 ; II. En contours semblables à ceux dont on a parlé (i""), c'est-à-dire pour lesquels on n'a jamais à la fois P = o, Q = o. Le théorème de M. Cauchy ayant lieu pour les diverses parties dans lesquelles on divise le contour ABC, aura lieu pour ce contour même ABC, dont la forme est arbitraire.

» Ce théorème est donc entièrement démontré.

D Toutefois, nous excluons formellement le cas particulier où, pour quelque point de la courbe ABC, on aurait à la fois P = o, Q = 0: ce cas particulier ne jouit d'aucune propriété régulière, et ne peut donner lieu à aucun théorème,* car, dès qu'on l'admet, l'excès A peut varier avec la forme du contour sans que le nombre fx varie ; de sorte qu'il n'existe alors entre fx et A aucune relation constante. »

ASYMPTOTES DES COURBES P, Q, P — Q, P-hQ, DANS LE CAS OU P ET Q SONT DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET ENTIÈRES. — THÉORÈME SUR LE NOMBRE DES RACINES d'UNE ÉQUATION ALGEBRIQUE.