Soit une équation algébrique et entière de degré /w

/(3) = (Ao4-b,/=T)3'"4-(a. + b.v-=:T)3"-4-...

+ (A„, + B„v/=^) = o; si nous posons

z = x-hj/— I = r(cosw -»- v/— isinw),

A„ 4- B„v/^ = p„ (cosa^ 4- v/^sinaj, nous aurons

= pr'"[cos(a-|-/ww) 4-v/— isin(a-f-/Wû))] 4- Pjr"'-'|cos[a,4- (/« — i) w] + y/— ^sin[a, 4- (w --!)«] ■ -f- M

d'où

P = pr'"cos(a4-/ww)4-p^r'"-*cos[a, 4- [m — i)w]

4- p, r'"-»cos [a^ 4- ( /w — 2) w J -j- . . . , Q = p/''"sin(a4-/ww) -1-p, /•'"-'sin[a, + (/« — i) w] + Pa r"^*sin [a, + { /w — 2 ) «] 4-

Les polynômes P et Q ainsi définis, nous allons chercher les asymptotes des courbes données par les équations P = o, Q = o.

2â. Les coefficients angulaires des asymptotes d'une courbe algébrique de degré m s'obtiennent en égalant à o la somme d ?s termes de son équation qui sont du m'*'"* degré, après y avoir fait a: = rcosw, / = rsinw.

Or, les termes du ^^''""'degré dans les polynômes P et Q proviennent évidemment de la substitution de ^4-Jv^— i à la place de z dans le terme (A^4-B<,/^) z'"de réquation/(z) = o. Donc, si réservant w pour désigner Tangle qu'une asymptote à la courbe P fait avec Taxe des or, on appelle u Tangle analogue relatif à la courbe Q, ' on obtiendra (*> et u en posant

pr^'cosfa-h/Tiw) = o, pr'"sin(a4-wy) ^ o, d*où l'on tire

,«v a-iT.iir a.,ir itt

23. Quand l'équation d'une courbe du degré m est telle, qu'on puisse faire disparaître les termes du [m — if^'* degré en posant x = .r' + j:,, j = y-|-/,, on sait que toutes les asymptotes de cotte courbe passent par le point {j?,,/J.

Les courbes P et Q sont dans ce cas.

En effet, si dans réquation/(z) = o on fait «= z'-f-^|-4-/, V^— M U suffira, pour faire disparaître le terme en z'"-*, de poser

ou bien, séparément,

»" m AJ + BJ ' •^' m Ai + BJ

La transformée en z* n'ayant pas de termes du (/w — i)'^*^ degré, les polynômes P,, Q,, analogues à P et à Q, que Ton déduit de cette transformée en posant z* = x'-\-y v^— i? n'auront pas non plus de termes de ce degré.

Mais il est évident que P, et Oi sont ce que deviennent P et Q quand on y fait a? = j:' + j:„ jr = j' -f/,. Ainsi, les polynômeè P et Q perdent leurs teimes du degré m — i par ce changement de variables, et, par suite, toutes les asymptotes des courbes P et Q passent par le point (^p^J.

24. Des formules (i6) il résulte : i** que les deux courbes P et Q ont chacune m asymptotes distinctes ; 2° que deux asymptotes

consécutives de l'une d'elles comprennent un angle égal à — ?

dont la bissectrice est une asymptote de l'autre courbe (*).

La construction des asymptotes est donc la même que celle des tangentes en un point-racine de Tordre /i.

Les équations qui donnent tang&> et tangu n'ayant que des racines inégales, les asymptotes ainsi obtenues sont bien réelles et s'approchent indéfiniment des courbes P et Q, tant du côté de l'infini positif que du côté de TinSni négatif.

25. Les courbes P — Q, P 4- Q ont aussi chacune m asymptotes qui passent par le point (j:„ jr,). Leur position par rapport aux asymptotes des courbes P et Q est la même que celles des tangentes n° i8. Il résulte de là que si du point (j?,,^i) on décrit

{*) Ces propriétés des asymptotes ont été remarquées par Gaoss et publiées par lui, en 1799, dans une thèse intitulée : Demonstratio nova theorematisomnem/onctionem algehraicam rationaîem integram unius varia» hilis in Jac tore s reaies primi vel secundi gradus resolvi passe, Helmstadîi.

NOTE IV. SjS

un cercle assez grand pour que, près de sa circonférence, les courbes se confondent sensiblement avec leurs asymptotes, un point mobile, parcourant ce cercle dans le sens direct de rotation, rencontrera im fois chacune des quatre courbes, et toujours dans Tordre suivant :

Par conséquent, la différence entre le nombre des variations des-

p cendantes et celui des variations ascendantes du rapport jr sera

égale pour ce contour à a/w. Le nombre des points-racines qu'il renferme est donc égal à w, et comme au delà les courbes ne peuvent pas se couper, on en conclut que toute équation algé^ brique et entièrey de degré m, à coejjicients quelconqueSy admet m racines de la forme a -h 6 /— i .

PROPRIÉTÉS DES SURFACES DONNÉES PAR LES ÉQUATIONS Z = P, z = Q.