Si dans l'intégrale définie

/{a)rfe=ra^/(o),

OÙ u tient la place de x -\-yyf^i^ r (cosO 4- /— isinô), on suppose /(«) de la forme <ï>(a)-i- Y(m)v/^, *(«) et Y(w) étant des fonctions réelles de u, on aura séparément :

J/»27r /«air

f Prfô = 27r4) (o), / Qr/0 = aTTY (o), o Ja

P et Q ayant toujours la même signification, mais devant être considérées comme des fonctions réelles de rsinOet de rcosd. Voici une conséquence remarquable de ces formules : Soit V le volume d'un corps compris entre la surface z = P, le plan xy et un cylindre droit ayant pour axe Taxe des s et /* pour rayon. On aura

V= / r?drdO= / rdO VdQ = iiit<V[o) / rdr,

J J Jo Jo Jo

et enfin

V=7rH*(o).

Ainsi le volume considéré est égal à celui d'un cylindre ordinaire, de même base et ayant pour hauteur $ (o).

En appelant U un volume analogue, dans lequel la surface 2 = Q

iy6 COURS d\nàly8e.

remplacerait la surface z = P, on aurait de même

U=7rr»T(o).

Dans le cas où la fonction f(u) est réelle, ce volume est constamment nul.