REMARQUES

27. Les courbes données par les équations P = o, Q = o, ne sont pas les seules qui puissent servir à représenter par leurs intersections les racines de Téquation /(z) = o. En effet, on ne change pas les racines de cette équation en multipliant son premier membre par une constante réelle ou imaginaire. Or^ le premier membre de l'équation

se changera pour z = x-{-x /~-* ^^

et les courbes données par les équations

P^ = flP — 6Q = o, Q^=: bP-^aQ =zo

se couperont aux points-racines de la proposée.

Les courbes V^ et Qi jouissent des mêmes propriétés que les courbes P et Q, et si l'on ajoute à cette remarque, qu'en chaque

point de la courbe P, le rapport ^ est égal à - ? on aura deux

théorèmes, qui pourront s'énoncer d'une manière abrégée comme

il suit :

p Le rapport -^ a la même valeur à tous les sommets d'un polygone régulier infiniment petit de in côtés y dont le centre est un point-racine de Vordre n,

Le rapport -k^ l^ même valeur à tous les sommets d^un pofy'

gone régulier infiniment grand de im côtés dont le centre est le point de concours des asymptotes, — Le dernier théorème n'a lieu que dans le cas où P et Q sont des fonctions algébriques et entières de degré m.

28. Tous les théorèmes démontrés dans cette Note ne s'appliquent qu'aux fonctions que M. Liouville appelle bien déterminées^ c'est-àdire à celles qui ne prennent qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable 2 = ^-h Jv^~T, et qui varient d'une manière continue quand le point (x, ^) se déplace suivant une courbe quelconque.

EXERCICES SUR LA RECTIFICATION DES COURBES PLATEES , par M. E. Prouhst.

Formule pour la rectification des arcs. — Approximation des arcs. Transformation des arcs de courbe. — Courbes rectifiables.