FORMULE FONDAMENTALE

i. Soient/(a:) une fonction quelconque et n un nombre entier positif. Proposons-nous de trouver une fonction <p(/2) telle, que Ton ait

(i) ç(«) ^f[x) -h/la; -h h) -^f{x-hih) -f-. . .4-/[ar-f-(«-i)//].

Posons

Il en résultera

(3) tf(n H-i) - ?(«) =/(^ -H nh),

La fonction <p doit satisfaire à l'équation (3) pour des valeurs entières de n ; mais il est clair que cette condition sera remplie à plus forte raison, si l'on obtient une fonction ^ telle, que l'équation (3) soit satisfaite pour toutes les valeurs que Ton mettrait à la place de /i. Alors l'équation (3) est identique. On pourra donc prendre les dérivées des deux membres par rapport à «, et l'on aura

(5) ^'(n + i)-^'{n) = hf{x + nh), et, en comparant avec l'équation (4),

(6) ?'(/»+!) - f'{ri) = /,,{;(« H- I) /^^|>(rt).

Si maintenant nous changeons successivement « en « -|- 1 , « -{- a , . . . , «-t-^, nous aurons, en ajoutant les résultats,

ou bien

(7) ^'(n)--h^{n)==<f'(n-hA)-/i^(n-^A).

Le premier membre de cette égalité est indépendant de A-; donc il doit en être de même du second : mais ce dernier est une fonction de n-i-Ay et il ne peut pas être indépendant de k sans l'être de n. Donc régalité (7) sera satisfaite si l'on pose

c désignant une constante, c'est-à-dire un nombre indépendant de n. En désignant (p(/2) par S/(a?) et -^[n] par S/'(ar), on aura

et en intégrant,

(I) Sf{x)==hfsf(x)dn^cn,

formule qui fait dépendre la sommation de la fonction /(or) de la sommation de sa dérivée. On n'ajoute pas de nouvelle constante , parce que S/(:f) doit être nulle pour 71 = 0.