Soient

7 = S/(j:) = i-h tf + ^ + ^ + . . .4- ^"-^ la formule (I) donnera, en remarquant que/'(j:) = e' =Xi

équation dont Tintégrale est

jr =r- c'e" — c.

Sturm. — ^/i.. II. 25

?^^T^f^Sr^~'

Çi>>,/'.;'-!w4-''"

Les constantes se déterminent en faisant « = o, /i = i , ce qui donne

d'où Ton tire c = c'— ? et, par conséquent,

e — I formule connue.

6. Comme dernière application , nous allons faire voir comment on peut, par le moyen de la formule (I), ramener à une question de calcul intégral ordinaire la sommation d'une classe très-étendue de fonctions transcendantes.

1° Soient

u' étant la dérivée de u. La formule (1) donne immédiatement dr

équation différentielle du premier ordre qui ramène Suô^ à Su'e^* Si donc u est une fonction algébrique et entière de J7, alors jr dépendra, en dernière analyse, d'une équation de la forme

dz

qui s'intègre immédiatement.

2** Soient

jr = SusmbXf z =Su cosbx,

y^ = ^u'&mbxj Zj = S«'cos^:c; on aura, en diflérentiant deux fois de suite,

Cette seconde équation, linéaire et du second ordre, ramène donc Sasinôj? à Sw'sin^^ et à Stt'cos^or. On pourra donc trouver Su sin^x, par une suite de semblables réductions, quand u sera une fonction de x algébrique et entière.

3* Soient

y — ^uef" sinôx, z = ^iiè^ cosbx,

j\ — S u'ef" sin hx^ Zj = S m V cos hx ; on aura

g=/.+ô(3. + ^r+«2 + cJ + ^J,

rélimination de z entre ces deux équations donnera une équation du second ordre et fera dépendre ^ de jr, et dez,. IJ sera donc possible d'obtenir les intégrales demandées quand u sera une fonction algébrique et entière.

Si maintenant on se rappelle que les puissances de sin^o? et de cos^^ peuvent s'exprimer en sommes de sinus ou de cosinus des multiples de hx^ on conclura des trois cas que nous venons d'examiner la possibilité d'obtenir

S/(j:, sinôx, cos^^, ^},

lorsque la fonction / sera algébrique et entière.