COS

V^i — arcosy? H- r*

fait voir que si l'on a r <^i, cos0 reste positif pour toutes les valeurs de p. Donc T extrémité mobile de Tare variable 6, mesuré à partir d'une origine fixe sur un cercle, se trouvera toujours dans le premier ou dans le quatrième quart de cercle, et puisque son sinus et son cosinus reprennent pour p = a -f- 27r leurs valeurs pour p = a, l'arc d lui-même reprendra pour p = a H- 27t la valeur 6 qu'on lui avait assignée pour p:=a. Ayant posé

I — z = p(cos0 -h v/— I sinô) z=pe^y^^ on a

l(l — Z)=:\p -f-ôV"*^»

et la formule (II) nous donne

(5) o=r''^ip^o^f:rt)dp,

équation qui revient aux suivantes :

l / l(v^i — 2 r cosp -{- r^j dp z=:Oy

" II-

^^ — rsinp

arc tans; ^— dp = o.

" I — rcosp

DÉVELOPPEMEMT UES FOJSCTIONS.

486. M. Cauchy a fait servir la formule (I) au développement des fonctions en séries, et il en a déduit les con-

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. 3i

ditioiis SOUS lesquelles ces développements sont convergents. Il est arrivé ainsi à ce théorème remarquable :

Une fonction ¥{x) d'une variable x^ réelle ou imaginaire ^ peut être dév^eloppée en série convergente suivant les puissances entières et positives de a:, tant que le module de x est moindre que celui pour lequel la fonction ou sa dérivée première devient infinie ou discontinue.

D'après ce théorème, pour la démonstration duquel

nous renverrons aux ouvrages mêmes de M. Cauchy, les

fonctions

e*y sinjT, e**, cos(i — a?'),

et leurs dérivées premières, ne cessant jamais d'être finies et continues, seront toujours développables suivant les puissances ascendantes de x. Mais les fonctions

l(i — x), arc tangx,

et leurs dérivées, cessant d'être continues quand le module de X devient égal à Tunité, ne seront développables que si ce module est moindre que l'unité. Les séries obtenues pourront devenir et deviendront en effet divergentes si le module de x surpasse Tunité.

Enfin les fonctions 1 jc, e*, cos - devenant discontinues

avec leurs dérivées pour x = o, et par conséquent lorsque le module de x est le plus petit possible, elles ne seront jamais développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.

487. Les dérivées des fonctions que nous venons de nommer deviennent infinies et discontinues en même temps que ces fonctions. S'il en était toujours ainsi, on pourrait, dans l'énoncé du théorème général, omettre la condition relative à la dérivée première*, mais on n'a pa/B, à cet égard, une certitude suffisante.

COURS D AlfÀLYSE.

DES INTÉGRALES EULÉRIENIfES. DÉFINITION. — PROPRIÉTÉS

DE l'intégrale de PREMIERE ESPÈCE.

488. On nomme intégrale eulérienne de première espèce et l'on représente par B [p^ q) l'intégrale

/ xP-'[i^xy-'dx^

dans laquelle p et q désignent des nombres positifs. On verra, comme précédemment (460), que l'intégrale (i) aurait une valeur infinie si ;? ou ^ était négatif.

Uintégrale eulérienne de seconde espèce est l'expression déjà considérée (480, 463)

r(n)= I e-^x^-'dx =z j N I j dz.

489. L'intégrale de première espèce peut se mettre sous l'une des deux formes

en posant x = dans le premier cas, x = sin* 9 dans

le second.

490. L'intégrale de première espèce est une fonction symétrique dep eldeq-^ car si l'on pose x = i — jr^ on a

On a donc

(2) Bipyq)=B(q,p).