On peut diminuer d'une unité chacun des expo

sants p et q. Car, en intégrant par parties, on a

^ XP(1-^X)^ ^p r ^,(,^),-,^^__^ CxPil--x)9'-^dXi

donc, en prenant pour limites o et i,

(3) B(/.H-i,7) = ^B(y,, ^)-|b(>. + i,^), d'où

(4) Bip-^l,q) = y^B{p,q);,

on aura de même

RELATIONS ENTRE LES INTÉGRALES DE PREMlîiRE ET DE SECONDE ESPECE.

492, Toute intégrale de première espèce peut s'exprimer au moyen de deux intégrales de seconde espèce.

En effet, si dans Tintégrale T (^) on change x en j *, on aura

Ou aura aussi

e-'*x^i-*dx;

donc

J/»oo /»00 ' / er-''-^'x^^-'j'P-'(ixdf, o Jo

Le second membre représente le volume compris entre la surface qui a pour équation

et les plans coordonnés-, en prenant des coordonnées

Stuum. — jdn,,ll, 3

polaires r et 6^ ce volume sera encore représenté par

(sin G)V-^ (cose)2î-> ^0 X 2 1 e-'* r^P-^^^-^ dr. o Jo

Or, le premier facteur est égal à B (/>, q) (489), et le second à F (p -f- 9) 5 on a donc

r(/^)r(^) = B(/>, ^)r(/?^-7), d'où

493. Si dans le premier membre de l'équation précédente on pose X = -> on aura

d'où

(i) f uP-'{a — u)9-'duz=aP^-'

INTÉGRALES MULTIPLES QUI S EXPRIMENT A l'AIDE DES FONCTIONS F.

494. La formule (2) est un cas particulier d'une formule plus générale au moyen de laquelle on exprime par des fonctions F l'intégrale multiple

.a;A'->/î->z'^* ... (a — a: —jr — «• • ^Y'^dxdydz,, . ,

étendue à toutes les valeurs positives de x, j, ir, . , . , qui satisfont à l'inégalité

En effet, soit, pour fixer les. idées, l'intégrale triple

Jo Jo

TREJNTE-WEUVIÈME LEÇON, 35

J^intègre d'abord par rapport h z, et j'ai pour résultat

Multiplions par j^~*%- et intégrons par rapport à j depuis j^ = o jusqu'à y = a — x, nous aurons

, .,^r.s^^ r(y)r(r + .) r(r)r(.) ou

Enfin, multiplions par x^'^dx et intégrons de a: = o

h X = a^ il vient

Si dans celte formule on fait 5 =i, a= i, on aura JJJ ^ ^ T(p-^g^r^i)

Tintégrale étant prise pour toutes les valeurs positives de x^Xy z qui satisfont à Tinégalité