Toute équation

qui satisfait à Véquation différentielle donnée et qui renferme m constantes arbitraires au moyen desquelles il soit possible de donner,

(Iy pour a: = a , des valeurs arbitraires è, b\.,,y ^C*-') «^^ ^ 5 • • • >

j^ y est identique à ^intégrale générale.

552 à 554. Conditions que doit remplir une fonction pour être l'intégrale d'une équation du /w*'^ ordre.

555 et 556. Intégrales des divers ordres d'une équation différentielle. — Une équation différentielle de l'ordre m a pour intégrale une équation de la forme

F[x,jr, c, c', c%...,c('"-')] = o.

En éliminant, tour à tour, chacune des m constantes c^ c\,..^ cC"-»)^ on obtient m équations différentielles du premier ordre dont chacune contient seulement m — i constantes. Ces équations sont dites des intégrales de l'ordre m — i.

En éliminant successivement deux des m constantes on aura

— équations différentielles du deuxième ordre contenant

chacune /w — a constantes, et qu'on nomme intégrales de l'ordre m — a.

î(57. On pourra de même parvenir à des intégrales de l'ordre m — 3, de Tordre /w — 4, etc. Si Ton élimine toutes les constantes moins une , on aura m équations différentielles de Tordre m — i qui seront des intégrales du premier ordre*

£(58. Les intégrales du premier ordre, résolues par rapport aux constantes, donnent m équations de la forme

on aura du . du . . du j, , du >. . .„ o-i

Cette équation doit être identique.