APPLICATIONS A LA KEGHEUCHE DES VOLUMES ET DES CENTRES DE GRAVITÉ

496. La formule (2) permet d'obtenir le volume compris entre les plans coordonnés et la surface dont Téquation est

Par exemple, en faisant a = j3 = y=2,p = <7 = r=i, l'intégrale désignée par B (495) représentera le volume V du 8® de Tellipsoïde dont les axes sont qo, ai, 2c. On aura donc

mais (461)

Ki-)=Mi)=^a)'

d'ailleurs (492, 471) donc

497. Si l'on demande les coordonnées ^i,jKi» ^i ^^ centre de gravi lé de ce volume, il faudra prendre la formule

Vx, = I I \ xdxdj dzy

et Ton aura, en faisant a = /3=y=2, p = 2,^ = r = i,

*'-~8 rl3j 16 '

d'où

On trouverait de la même manière j^i = ^ è , Zi = -^c.

EXERCICES

i . Démontrer la relation

n désignant un nombre entier et positif,

38 COURS d'ajnalyse.

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES ET DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Condition d'intôgrabilité et intégration dans le cas de deux yariablcs. — Extension au cas d'un nombre quelconque de variables. — Équations diflërentielles. — Définitions. — Équations du premier ordre. — Séfmration des variables. — "" Équations homogènes. — Équations rendues homogènes.

CONDITION d'iIÏTÉGRABILÎTÉ DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES.

498. Intégrer une expression différentielle de la forme Mdx -h Nrf^ -f- Pdz. . . , c'est chercher une fonctioa de Xjj-j z. . ., dont celte expression soit la différentielle totale.

Une différentielle relative à une seule variable a tou* jours une inK'grale (I, 320) 5 il n'en est pas toujours ainsi d une fonction différentielle de plusieurs variables^ et certaines conditions doivent être remplies pour qu'une telle expression soit la différentielle totale d'une fonction* En effet, si u=f(x^j)^ on a

du , du ,

dy .

lu'

donc,

si Mdx 4-

l^dy représente la difîéreni

Lielle

totale

de la fonction u,

OD aura

dil

dy~

dx^

QUÀ]iA.irTi£jaE LBÇON. 3g

L'expression Mdx -i-Ndy ne pourra donc être inlégrée si cette relation n'a pas lieu.

499. Si la condition (I) est remplie, M^/r-f-Nr/^ sera la différentielle totale d'une fonction m. En d'autres termes, il existera une fonction u telle que l'on ait

du du

dx dy

En effets cherchons une fonction u telle que Ton ait

(i) £/« = M^^-l-Nrfj.

La fonction cherchée, devant avoir Mrfo: pour différentielle par rapport à x^ sera égale à l'intégrale de MJ.r augmentée d'une quantité 9 (j^) indépendante de a:, mais fonction de j; u sera donc de la forme

Mrf«-t-(ï)(j^)=p-f-(p(r)>

en posant ^= JMdx

Il rest( Or, on a

Il reste à déterminer (f(j) de manière que — =3»

du dv d(f

5^ ~ flT/ djr d'où

dy dy

' là qi On aura donc

On voit par là que N — ^ °® ^^^^ P^® contenir x*

rfp dv

d^ ^ Jd^ dU

dx dx dy :--= dy

B jPj-v*? '7Tf7?T??'«srv'7''

4o COURS d'analyse.

On relrouve ainsi la condition

dx dy Si cette condition est remplie, on aura

et, par suite,

(2) a = Cudx + r (n - ^^ dy.

Exemple :

Oaa :

iy.T

U= \Udx-\-ff(x)=\x-i--^^-^^[yy^

du dv dff 7..r.y — j' dt^ jc*

df "^ dy dy~ (x-~yY d^ ~ [^ — XY "

Ty^'-y 9=y-^x + c; « = ^^^ + if + c.