L'intégrale de l'équation est

eue -\- by -{- cz =^ *('îP^4-/'-h«')-

676. Quand l'axe de révolution est l'axe des z, les équations se

réduisent à

py — qx z=Q,

677. Des lignes de niveau et des ugnes de plus grande pente. — Soit une surface

et supposons le plan des xy horizontal. On appelle lignes de niveau les sections faites dans cette surface par des plans horizontaux. Une ligne de niveau a pour équation

dx q

4l6 TABLE ANALYTIQUE

Elle exprime que la tangente à la ligne de niveau, en un point H de la surface, est parallèle à la trace horizontale du plan tangent mené à la surface par ce point.

678. On appelle ligne de plus grande pente d'une surface une courbe qui, en chacun de ses points, a pour tangente celle des tangentes à la surface, en ce môme point, qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal.

Uéquation différentielle

pdf:= qdx

représente la projection, sur le plan horizontal, de toutes les courbes de plus grande pente.

C79. Une ligne de plus grande pente coupe à angle droit toutes les lignes de niveau, et réciproquement toute courbe qui jouit de cette propriété est une ligne de plus grande pente.

680 et 681. Application à Fellipsoïde.

SUITE DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.

682. Des surfaces développables. — On nomme surfaces developpables celles qui étant supposées flexibles et inextensibles peuvent s'appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicature.

Toute surface développabie est le lieu des tangentes à une certaine courbe, nommée arête de rebroussement de la surface. Dans le cône, Taréte de rebroussement se réduit à un point, et dans le cylindre cette courbe passe à Tinûni.

683 à 686. Équation du premier ordre qui convient à toutes les surfaces développables :

687. Équation aux dérivées partielles et du premier ordre, résultant de l'élimination précédente. Posons

dx^"^' dxdy^^' df'"^'

Équation aux dérivées partielles et du second ofdre des surfaces développables :

f*— rr = 0.

DES MATIERES j 4^7

QSS et 689. Intégration de l*équation aux différentielles

PARTIELLES DES SURFACES DÉVELOPPABLES. — L'éqURtiOD

j'— rt = o ne convient qu'aux surfaces développables.

690. Des surfaces réglées. — On nomme surfaces réglées celles

qui s'engendrent par le mouvement d'une ligne droite; surface

gauche, toute surface réglée qui n'est pas développable.

Soient

X = az-^ X,

les équations d'une droite : si a, b, a, 6 sont des fonctions d'une même indéterminée 7, en faisant varier 7 d'une manière continue, la droite se déplacera successivement dans l'espace et engendrera une surface réglée.

691 . Équation dlfTérentielle du premier ordre, renfermant seulement deux fonctions de l'indéterminée 7 :

ap-^bq= I,