Soit

c'est-à-dire

^dx -h ^dy H- V!dz =z dUy

on aura

, ««, , û?tt , û?a - rftf , rfa , du

dx dy dx dz dy dz

dy dx dz dx dz dy ^

QtJÀIlAlNTIÈME LEÇON. 4^

OU bien

ril^ dM d^ dU dP d^d9

^ ' dx àx dz dx dz djr

Telles font les conditions nécessaires pour que la formule proposée soit intégrable.

501. Réciproquement, si ces conditions sont remplies, la formule proposée est intégrable. En effet, cherchons une fonction u telle que

(i) du^^dx^l^dy-^-^dz.

Puisque la différenlielle de «, par rapport à jc, doit être Mdx^ on aura

u= JMdx-^^lx, z) = ç-+-ff(x, s),

en posant j^= JMdx.

Maintenant il faudra que l'on ait

c'est-à-dire

du ^^ du

dp do „ du do ^ dy dy dz dz

ou bien

dy djr dz dz

Or, -î et -— ne doivent contenir que / et z, par hypothèse \ donc on aura

ou

dx dx

dx dy dv dz

4a COURS D^ANALYSE*

En outre, la fonclion cf doit satisfaire à la condition

ail

ail

dy